☉湖南省永州市第一中学 蒋雄伟

导引审题思维培养解题能力
——圆锥曲线综合题解题思路的生成

☉湖南省永州市第一中学 蒋雄伟

在数学课上，很多学生存在这样的情形：在课堂上听懂教师讲的课并不难，仿照例题解几道题也完全可以，但让他们要用学过的知识去解决一个新的问题就不是轻而易举的了.这就是学生常常出现“一听就懂，一过就忘，一做就错”的现象.造成这种现象的一个主要原因是老师在讲解题目时忽视对学生审题能力的培养，导致学生在审题时不能抓住题目的“题眼”所在.因此教师要讲授的应该是审题突破口的寻找，即“为什么这么解？思路是如何想到的？”这种想法和思维过程要暴露在学生面前，让学生自己体会如何寻找解题思路.

一、准确把握定义，驾轻就熟

圆锥曲线有第一、第二两种定义，每一种定义都深刻地反映了该种曲线的本质特性.正确理解圆锥曲线的定义，熟练地运用到解题中去，将题目的已知条件转化为符合某种圆锥曲线定义的条件，将定量分析与定性分析有机结合起来，使问题的解答简洁明了.

例1已知动圆C经过点F（0，1），且与直线y=-1相切，若直线3x-4y+20=0与圆C有公共点，则圆C的面积（）.

A．有最大值为πB．有最小值为π

C．有最大值为4πD．有最小值为4π

思维导引：在平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹为抛物线.题目条件中动圆C经过点F（0，1），且与直线y=-1相切，即圆心到点F的距离与到直线y=-1的距离相等，故圆心的轨迹为抛物线，进而找到解题思路.

解：由抛物线的定义知点C的轨迹方程为x2=4y.

评注：在具体运用圆锥曲线的定义求解问题时，当题中涉及曲线上的点到定点或者定直线的距离时，我们就可以尝试运用定义进行相应转化，这也是一种数学思维，通过运用定义做合适的转化，可以让题中的各类条件变得明晰，使自己思考问题更加透彻准确.

二、深挖隐含条件，由隐变显

问题的解答依据已知条件，而所谓的已知条件并不一定是题目直接给出的，也包括在知识的学习中所探究出来的一些结论、性质等，在题目所给的条件中并没有涉及，但在解题中应将这些性质作为已知条件应用.

思维导引：渐近线是圆锥曲线特有的性质之一，其必定与双曲线方程有着千丝万缕的联系，如双曲线方程反之，已知渐近线方程亦可得出双曲线方程.

解：据双曲线方程与渐近线方程之间的关系，设所求双曲线方程为，因为双曲线过点P（4，6），代入双曲线方程得m=-3，故得双曲线方程为

评注：通过深究双曲线方程与渐近线方程之间的关系，直线设出曲线方程，避免了因焦点位置不确定所造成的分类讨论，进而将问题简洁求解.

三、巧用特殊形式，先猜后证

圆锥曲线中的定点、定值问题是高考的热点，定值的存在与直线的斜率等的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不以参数的变化而变化，而始终是一个确定的值.

例3已知动圆P（圆心为点P）过定点A（1，0），且与直线x=-1相切，记动点P的轨迹为C．

（1）求轨迹C的方程；

（2）设过点P的直线l与曲线C相切，且与直线x=-1相交于点Q．试研究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

思维导引：直线或曲线过定点问题的基本思路是：解决的基本思想从变量中寻求不变，把直线或曲线方程中的变量取特殊常数，即先用变量表示要求的量或点的坐标，再通过推理计算，导出这些量或点的坐标和变量无关.

解：（1）y2=4x.（过程略）

（2）设直线l的方程为y=kx+m，易知当利率不存在时不符合要求.

由题意得k≠0，且Δ=（2km-4）2-4k2m2=0，化简得km=1.

设直线与曲线C相切于点P（x0，y0），则

若取k=1，m=1，此时P（1，2），Q（-1，0），以PQ为直径的圆为x2+（y-1）2=2，交x轴于点M1（1，0），M2（-1，0）.

评注：本题在定点存在的探究中，通过特殊圆的选取，将定点显性化.定值问题的求解策略：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

四、逆向探究分析，化生为熟

解题思路的寻找既可从条件入手，将条件转化为结论，也可从结论入手，将结论转化为条件，从而寻找解题思路.

（1）求m的值；

（2）设过点F的直线l与椭圆C相交于M、N两点，记△PMF和△PNF的面积分别为S1、S2，求证

图1

Rt△NDP，所以∠MPC=∠NPD，即kMP=-kNP.

解：（1）m=8.（过程略）

（2）若直线l的斜率不存在，则有S1=S2，|PM|=|PN|，符合题意.

若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x-2），M（x1，y1），N（x2，y2）.

评注：通过逆向分析，找出两直线斜率之间的关系，进而将问题与根与系数的关系建立联系，将问题顺利求解.

综上，教师在解题教学中应站在学生的角度，展开对问题的分析、探究，从解题思路的生成上多下功夫，使学生明晰解题思路的来龙去脉，既知其然，又知其所以然，进而有效提高学生分析问题的能力与解决问题的能力.F