☉浙江省湖州市第二中学 刘薇 沈恒

唯有漫江碧透，方可鱼翔浅底
——一次说题活动给予的思考

☉浙江省湖州市第二中学 刘薇 沈恒

近期笔者所在地区举行了一次大型的说题活动，教师在既定时间内解决给出的数学问题，并进行说题，通过交流感受较多．何为说题呢？通俗地说，就是要求教师将审题、分析、解答和反思的思维过程通过语言，按照一定的顺序和规律表述出来，展示教师面对问题暴露出的思维过程和解决途径，即说数学思维．这是近年在浙江省较为流行的一种教研活动，它充分展示了教师临场解决问题的基本功，口述解决问题的思维过程、思维策略、思想方法等，其作用旨在推动教师的课堂解题教学以及教师的专业化成长．笔者就本次其中一道解析几何试题，来谈谈自己的认识和感受，与大家交流，不当之处恳请读者指正．

一、题源

题目：设抛物线C：x2=y的焦点为F，动点M在直线l：x+y+2=0上运动，过点M作抛物线C：x2=y的两条切线MA、MB，且与抛物线C分别相切于A、B两点．

（1）求△ABM的重心G的轨迹方程；

（2）证明：∠MFA=∠MFB．（如图1）

图1

说明：本题改编自近年高考江西理科第22题，为了使参赛选手亲自动手一试，评委组特意将原题中的直线改成了x+y+2=0，以保证试题的公平性．本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查动点轨迹求解方法中的消参法，有一定的运算要求，其中渗透了数形结合思想和方程思想，并且本题带有浓厚的高等数学背景——阿基米德三角形．从近年各地高考和竞赛试题来看，抛物线的基本几何性质、直线和抛物线的位置关系、高等数学背景下的初等数学问题解决都是热点和难点．

二、说题

文献1、2都关注了教师指导下的学生说题，本次活动是教师面对评委的说题尝试．众所周知，数学问题的解决本质上正是要求学习者将问题中的条件简明扼要地通过一定的转化，和问题的结论进行联系，这即是对命题进行一系列转化的道路．那么说题和问题的解决相同吗？说题就是利用数学教学语言口述问题解决的探寻思路，以及问题解决过程中采用的解决方案、思想方法、解题策略，甚至对问题进行一定程度的挖掘，诸如变式的推广、初等数学问题的高等数学背景挖掘、数学人文情怀的渗透等．一般来说，说题的内容往往涉及下列四方面.

1.说题意

解析几何一直是高考数学的重点和难点，也往往容易编制含有高等数学背景的初等数学试题．解析几何解答题侧重考查运算能力、逻辑推理能力和综合问题解决能力，常常与向量、数列、函数与方程等知识相结合考查．

从本题的编制来看，本题涉及内容不多、题意表述言简意赅，以直线和抛物线的位置关系为载体，两切线相关知识与导数紧密结合，轨迹思想的求解涉及消参法的运用；从思想方法上来看，本题考查数形结合思想和方程思想，其是解析几何考查的重要思想方法，轨迹问题和定值求证一直是各地高考、省市竞赛中出现频率较高的考查类型，值得关注．

2.说思维

说思维是指说题者简要探求解题途径的心理分析过程、问题解决的思维方式展现．笔者认为，要说好一道试题，探寻解题途径的常用方式、方法，往往宜采用下列几步：其一，采用庖丁解牛策略，将复杂的试题分割成多个小问题进行解决，化整为零的解决策略将说题者的思路清晰表露无遗；其二，利用转化思想，把问题中遇到的陌生背景问题转化为熟悉情境求解；其三，采用直觉思维和灵感思维，从类似问题的解答中迁移和获得解题思维规律，可以利用模式识别解题．

从本题的解答来看，限于教师在半个小时内的准备，其相对解决方法均为通性、通法，基本均为学生在解决问题过程中所能使用的方法，符合学生构建这些解法的心理机制，是教师说题需要注意的．看看本题，教师要说出学生解决问题的心理机制：

（1）设A、B两点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），利用导数知识表达切线方程；

（2）M点是两直线的交点，利用轨迹思想消参，求△ABM的重心G的轨迹方程；

（3）证明角度相同，在解析几何中能利用的工具不外乎代数中的余弦定理、向量中的数量积工具、几何中的角平分线的性质等，结合方程中的韦达定理证明．

3.说思路

针对解决问题的分析和学生的心理机制，说题者容易述说解题思路.

对于第一问，从学生解决问题的角度来看，对多数学生而言并不容易，设M点的坐标为（x0，y0），利用导数知识易求得切线lMA：y=2x1x-y1，同理可得lMB：y=2x2x-y2.因为M为两直线的公共点，可得直线lAB：y0=2x0x-y.联立y=x2和y0=2x0x-y，根据韦达定理可得x1+x2=2x0，x1x2=-x0-2.利用三角形的重心关系式，得重心的横坐标消去参数x0，可得重心的轨迹方程：y=

对于第二问，学生的解决视角基本是利用余弦定理证明角相等，这种方式思维简捷、实际运算难以实现，优秀一些的学生会利用角平分线的性质解决问题，或者是利用向量的夹角公式解决（下文中将对其一般化结论进行证明），这是处理本题比较好的方式．针对第二问的具体解决，限于运算量较大，此处说明给出了思维方向，具体运算不展开赘述．

4.说规律

说题需要指出问题解决的一般性策略，学会举一反三，这里可以研究问题的一般性结论、变化，一题多解，一题多变，概括出解决同类问题的思维规律，并交流心得体会．就这一点而言，笔者认为（包括笔者自身在内）在短时间内解决问题、挖掘背景、改编问题等还需教师努力提高．

（1）稍难的轨迹试题如何求解？消参法是常用的一种解决轨迹问题的思路，当多变量出现时，消参法往往具备解决问题的一般性，这是轨迹问题解决的方向和规律，其原型来源于人教版典型问题：已知△AOB的一个顶点为抛物线y2=2x的顶点O，A、B两点都在抛物线上，且∠AOB=90°，求AB的中点的轨迹方程.

（2）将问题的背景演变为椭圆、双曲线，可以体会“形变质不变”；将M点设置在其他直线上动起来，体会“质变神不变”.

（3）抛开问题的外表，来看本题的高等数学背景：即以阿基米德三角形为背景进行了试题的编制．近年以阿基米德三角形为背景的高考试题编制较为多见，如2008年山东第22题，2007年江苏第19题，2006年重庆第22题，2005年江西第22题，2006年全国卷2第21题等，能够通过高观点下的数学知识解决初等数学问题，应该渐渐成为教师自身专业化提升的一个积累方向．以抛物线x2=2py（p＞0）为例，MA、MB为抛物线的切线，AB为两切点，N为弦AB的中点（下同），可以发现并解决下列一系列关于阿基米德三角形的规律（性质）.

性质1：如图2，在△ABM中，F为抛物线的焦点，求证：∠MFA=∠MFB．

说明：性质1恰是本次说题的阿基米德三角形背景，也是证明第二问较好的方式，从本性质可以看到江西命题时恰是从本性质出发进行了编制，具备了问题的一般规律.

性质2：如图2，在△ABM中，F为抛物线的焦点，求证：|MF|2=|FA|·|FB|．

说明：性质2是阿基米德三角形的又一通性探索．

笔者还通过研究发现了下列简单的规律.

性质3：如图3，△ABM的边AB过抛物线内一定点C，则另一顶点M的轨迹是一条直线．

图2

图3

图4

性质4：如图4，△ABM中，若N为抛物线的弦AB的中点，则直线MN平行于抛物线的对称轴．

通过本次活动，笔者发现在紧张的参赛解题、说题之余，没有选手能发现本题背后的数学本质，因此只能仅仅依赖于问题的解决，无法挖掘更深层次的思考，当然这与时间紧迫有关系，因此包括笔者在内认为只有平时更多的积累才有专业化素养的成长．

三、反思

观摩整个说题活动，笔者感受到了近年来课程目标对教学观念的改变，教师在先解题、后说题中都体现了以学生为主，以其思维角度进行问题的述说、分析．比如说题过程以关注学生在轨迹问题上认知的基本思路为出发点，关注学生解决解析几何问题的常用思想进行述说，关注问题变式的开发、挖掘，关注问题解决中学生能使用的基本数学方法，并在情感态度、价值观上做出了一些尝试．这些都是类似笔者这样的教师需要努力去学习和积累的．笔者后续又有了一些不成熟的思考，本次说题活动在目标性上的处理似乎还不够完善、不够成熟，有时套用一些过于笼统、空泛的课程标准来说明，有时在具体性上、适度性上把握不足．实际上，笔者认为说题目标应该分为三个层次，以本题为例.

（1）初级层次目标.将问题以学生的心理机制建立解题思路，针对本题解决的主要方式，如向量方式、角平分线性质的运用方式等，通过引导使学生将问题解决思维建立在最近发展区，使其通过一定的探索解决问题，并能对学生的基础知识、数学能力做出合理的评估.

（2）中级层次目标.在解决问题后，积极引导学生进行反思，这里的反思可以是结合一题多解的尝试，可以是数学思想方法的整理，可以是学生对问题解决的一些小结，激励学生敢于天马行空地提出创造性解决思维等，为积累更宝贵的问题解决经验做出一些实践性的总结.

（3）高级层次目标.对于一个具备研究价值的问题，教师说题后的处理还能有更进一层的挖掘，以本题为例，教师通过问题认识到其背后的阿基米德三角形，并对阿基米德三角形进行一定的探究性学习，利用这些学习和整理，开拓优秀学生的知识面和提高教师自身的专业化素养，同时教师还能根据性质开发一批原创性的问题，培养学生的发散、求异、直觉、创新等思维，让学生掌握数学思维的规律、特点和方法，在参与思维中发展能力，在知识、规律的探索和归纳中形成创新意识，这样由点及面的学习和研究是说题之后更能提供给我们的一些启示．

总之，通过即时解题、说题，本次活动较好地给予了教师展示的平台，也让我们认识到：扎实的基本功、合理的表述以及学生解决问题的心路历程的有效整合．这样的尝试是对教师多方面能力的一种提升，也督促教师在教学之余对专业化成长做更多的尝试和积累.只有做到“八方联系，浑然一体”，才能“漫江碧透，鱼翔浅底”！

1.李萍.说题教学的尝试［J］.数学通讯，2005（11）.

2.金秀青.说题——让数学课堂更精彩［J］.中学数学（上），2009（6）.

3.沈恒.说题，谈题，品题［J］.中学数学研究，2012（9）.

4.邹生书.圆锥曲线阿基米德焦点三角形的一个性质［J］.数学通讯，2011（7）.A