☉上海市松江一中 李志成

基于PCK浅谈信息技术在高中数学课堂中的应用*

☉上海市松江一中 李志成

一、概念综述

1.PCK介绍

这一概念最早是由斯坦福大学教授Shulman（美国教育研究会主席）提出的，他认为构成教学的知识基础有7类，其中的“学科教学知识”逐步成为教师知识的重心与核心.学科教学知识是“Pedagogical Content Knowledge”（简称为PCK）的翻译，也有些研究者将其翻译成“教学内容知识”或者“学科教育知识”.其内涵是指所教的学科内容知识与教育学知识的有机融合，针对具体要教的内容所使用的教学方法和教学策略.学科教学知识包含四个成分：学科知识、一般教学法知识、关于学生的知识和关于学习情境的知识.

2.信息技术

凡是能扩展人的信息功能的技术，都是信息技术.可以说，这就是信息技术的基本定义.它主要是指利用电子计算机和现代通信手段实现获取信息、传递信息、存储信息、处理信息、显示信息、分配信息等的相关技术.计算机技术与现代通信技术一起构成了信息技术的核心内容.人们获取信息的途径有很多，可以直接从生产、生活、科研活动中收集和获取信息，也可以从网络、电视、广播、报刊杂志等获取间接的信息.其中计算机网络上收集和获取信息是极其重要的一条途径.

本文研究信息技术在数学课堂中的应用，信息技术与课程整合绝不是简取地将信息技术与课程进行功能上的叠加，也不仅仅是把信息技术作为技术手段在课程层面的应用，而是如何将信息技术实际地融入课程的有机整体中，使其成为整体不可缺少的部分，或成为一个新的统一体.

二、课堂实录及设计说明

为了更好地说明信息技术在高中数学课堂中应用的特点及作用，我们选择“椭圆的标准方程”的第一课时为例.

1.学情了解，教材分析

“椭圆的标准方程”的前一个知识是“圆”，是运用“曲线和方程”理论解决二次曲线问题的又一实例.它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次演练，同时它也是研究椭圆几何性质的基础；椭圆的标准方程为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础.

在学习本课之前，学生已学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解与运用的经验，并对运用坐标法研究几何问题也有了初步的认识，在教师的合理引导下学生有独立探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力.但由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度也较浅，思维上会存在障碍.特别是缺乏数形结合能力，不善于简化平面几何问题.

在教学上本课以多媒体和演示板作为教学手段，教师应用好自己的专业知识，找好椭圆定义及椭圆方程相关课件，以学生为主体，结合自己的学科知识引导学生思考并自己学习分析.课堂上使用多媒体辅助教学与自制教具相结合的信息技术应用方案，实现多媒体形象、大容量的优势，既突出了知识的产生过程，又增加了课堂的趣味性.体现学生是一个主动学习、积极探索的个体，尽可能增加学生参与教学活动的思维空间.

2.视频引入，激发兴趣

（1）展示神舟十号相关视频资料（如图1），并演示飞船飞行动画，由此引出椭圆.从课堂上的表现可以看出，学生对上课伊始就看图片和视频动画很感兴趣，注意力迅速集中到课堂.

图1

（2）生活中，你见过哪些形状是椭圆，你能举出实例吗？（继续用图片展示，特别展示一些生活中常见的椭圆图片，如图2）.学生各种欢乐的回答，迅速带动了课堂气氛.

图2

请学生观看椭圆相关的图片和动画，以及举出所看到有关椭圆的实例，目的是使学生对椭圆的认识能得到进一步加深，同时在学生的举例中也能澄清椭圆与椭球这两个不同的几何图形.通过动画演示也会更加形象生动，能引起学生的兴趣.

3.动画演示，定义归纳

（1）利用课前准备好的图钉和细绳合作画图，请两名同学到黑板上演示画图过程（做法：用图钉穿过准备好的无弹性细绳两端的套内，并且把图钉固定在两个定点上，然后用笔尖绷紧绳子，使笔尖慢慢移动，直至画出一条曲线）.因为找了两个负责认真的同学，所以课堂上画出的椭圆比较标准，而且费时较少.

（2）再通过演示几何画板动画，点B是线段AC上一个动点，分别以定点F1、F2为圆心，|AB|、|BC|为半径作圆，如图3，观察两圆交点M的轨迹.引导学生探求椭圆上点的运动变化的规律，并从直观上认识椭圆.

此环节的设计，可以锻炼学生的合作能力，并使学生在动手操作的过程中对于椭圆上点的性质深刻理解.利用课件的动画操作演示，使椭圆定义更加形象生动，学生更易接受.这样，让学生加深对椭圆上点的运动规律的体会，为下一个环节得到“椭圆的定义”做准备的同时，也锻炼学生从理论到实践的转化能力.

图3

（3）动画辅助，归纳定义.

师：椭圆上的点具有什么特点？

生：椭圆上的点到两个定点的距离之和等于常数.

师：那么能不能说，到两个定点距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆？

生：平面内，到两个定点距离之和等于常数的点的轨迹，才是椭圆.

师：还有补充吗？先来观察一个动画，如图4.

图4

学生通过课件观察随着F1、F2距离的改变，轨迹的变化情况.从而发现：

2a＞|F1F2|时，轨迹是椭圆；

2a=|F1F2|时，轨迹是线段|F1F2|；

2a＜|F1F2|时，无轨迹.

师：椭圆应如何定义？

生：平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

这一环节，学生通过对动画的观看和操作，在发现规律的同时，提高了学习数学的信心.教师利用自己已有的学科教学知识，提前做好动画，帮助和引导学生更好地理解了椭圆的定义.

4.推导方程，展示成果

本环节主要目的是通过学生独立建立直角坐标系，推导方程，从中选择比较简洁的形式确定为椭圆的标准方程.这是本节课的第二个重点内容，讲授时，教师让学生自主探究、分组讨论，教师在这个过程中加以引导.

师：要想得到椭圆的方程，首先要建立适当的直角坐标系，如何建立坐标系呢？

方案1：以F1、F2所在的直线为x轴，F1F2的中点为原点建立直角坐标系.

方案2：以F1、F2所在的直线为y轴，F1F2的中点为原点建立直角坐标系.

教师首先肯定了学生的方案的正确性，然后请学生求出在方案1所建立的坐标系下椭圆的方程（在这里规定线段AC的长度为2a，线段F1F2的长度为2c），汇报结果.按照方案1得到的方程为对这个方程进行进一步化简.而化简这个方程是本节课的难点所在，其关键是怎样去掉等式中的根号，通过以下两个问题来突破难点.

师：化简含有根号的等式时，我们通常采用什么方法？对于本式是直接平方好呢，还是恰当地整理之后再平方好呢？

生：这个方程直接平方不利于化简，而整理后再平方比较简洁.

通过学生自己计算化简，最后得到椭圆的方程为（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.

教师打开投影仪，请几名学生上台展示演算过程并讲解，全班一起从中选出最优方法.

椭圆标准方程的推导环节，教师已有对平方相关知识的储备，通过问答和展示学生成果，充分发挥学生的学习主动性，学生严谨的学习精神.学生的上台讲解，既能提高学生的主动学习的意识，又能提高他们的语言表达能力，更是学生相互教育和相互学习的一种重要途径.教师利用自己的教育专业知识和心理学知识，如何调动学生的积极性，让更多的学生参与到课堂中，也是PCK知识应用的一个表现.

5.例题讲解，提高效率

例1下列方程哪些表示的是椭圆，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？

（2）9x2-25y2-225=0；

（3）-3x2-2y2=-1；

注意：分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然.

例2写出适合下列条件的椭圆的标准方程.

已知两个焦点的坐标分别为（-4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10

变式1：将上题焦点改为（0，-4）、（0，4），结果如何？

变式2：将上题改为两个焦点距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何？

例3写出适合下列条件的椭圆的标准方程.

解析：（法一）因为椭圆的焦点在y轴上，如图5，

因为c=2，且c2=a2-b2，所以4=a2-b2.①

图5

联立①②可求得a2=10，b2=6.

由椭圆的定义知，

又c=2，所以b2=a2-c2=10-4=6.

求椭圆的标准方程的步骤：

（1）首先要判断焦点位置，设出标准方程（先定位）.

（2）根据椭圆定义或待定系数法求a、b（后定量）.

6.练习小结，动画辅助

（1）已知△ABC的一边BC长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程

（2）一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程.

练习环节，学生的学习即可以延伸到课下，动画的设计可以使学生清晰记忆动点轨迹，增强直观性，从而使两圆相切这一思维难题得到了更好的解决.

三、分析总结

教师利用自己已有的学科教学知识，有意识地制作多媒体课件及教具，充分利用多媒体手段，以轻松愉快的动画演示，化抽象为形象，创设了直观的课堂教学效果，化解了知识的难点.借助信息技术的应用，希望对学生的思维品质的培养、数学思想的建立、心理品质的优化起到良好的作用.笔者以“椭圆的标准方程”为例，基于PCK的相关知识简要分析信息技术在高中课堂中的应用.

1.有利于课堂中数学情境的创设

数学情境的设计在高中课堂中有很多体现，比如引入环节，比如某些抽象性概念或者严密的过程推理等内容，学生往往难以理解，无法准确把握，导致教学很难达到预期的效果.

如果不借助于教师的学科专业知识，不借助于信息技术，学生往往无法激发出学习数学的兴趣，难以形成对数学知识的感性认识.信息技术作为理想的数学教学情境设计工具，可以运用演示动画进行图文并茂的情境教学，教师可以利用自己的学科专业知识，运用动态模拟轨迹的形成过程来描述复杂抽象的数学对象关系，使学生更容易地理解数学抽象知识的形成和发展过程，提高对数学知识的感性认识，给学生提供了更多亲自参与实践的机会，从而激发学习兴趣.

2.有利于学生对知识的获取

多媒体提供的图形、视频、动画等多种类型的信息能给予学生多种感官的刺激，根据科学理论，外部刺激是产生学习的前提条件，刺激有利于学生在认知过程中对信息进行加工，有利于加工过程各阶段的强化，有利于新知识体系的建构.

信息技术还可应用于数学教学中的实验模拟和难点突破，从而更容易获取知识，更有效的学习.例如，高中数学中，函数与几何部分正好是难点，教师对这两部分知识的讲解，学生由于各种原因无法直观获取，抽象的理解使学习大打折扣.如果教师能利用自己掌握的学科知识和信息技术，借助FLASH或几何画板等软件，设计制作课件，即帮助学生克服这一难题，更快更易巩固掌握知识.

另外，网络的应用也是学生学习知识的又一大途径.教师可以利用自己的知识，建立QQ群、博客、空间、微信等交流平台，在课后继续同学生探讨数学问题，学生之间也可以借助这些工具进行讨论，师生还可以在里面共享自己的信息.学生在课内课外都能进行合作学习，不仅有助于提高学生的综合素质，而且从某种程度上还能促进师生关系的良性发展.

3.有利于课堂效率的提高

高效的课堂教学要求教师备好课，合理安排好各个环节，有大容量的教学内容.而众所周知，数学教学少不了板书、作图等常规的教学手段，容量有限.一节课的时间是有限的，如果常规手段占据了太多时间，就没办法分出太多时间供学生练习，学习内容与练习量不成正比非常不利于学生的学习.信息技术在课堂中的应用可以把教师从一些重复劳动中解放出来，使其有更多的时间投入到概念讲解、解题分析和方法指导上.借助信息技术，教师可以对一些难点问题，把画面定格，在某一位置进行分析、归纳，运算推理，再通过必要的板书或板演充分地展现给学生，既省时又省力，从而大大提高教学效率.

4.有助于教师教学水平的促进

随着网络信息技术的发展和成熟，基于因特网的数学教学特别适合学生进行探究学习，但网络只是工具，学习方面应用的关键在教师，教师需熟练掌握教材及网络方面的应用.作为教学中的指导者，教师是信息技术应用成功与否的关键因素.所以教师必须先完善自己的学科专业知识，掌握了扎实的信息技能和专业知识，就能在教学上不断进步并促进学生高效地学习.

对教师而言，要改善教学效果，必须提高自身的素养及教学工具.由于信息的社会化程度高，作为高中数学教师，就要让学生边学边用，而自己也需要不断学习，成为学生的“合格导师”.教师在使用多媒体技术的过程中，需要应用某些教学软件，而这些软件的使用就需要教师有较为良好的计算机使用技能.因此，教师在这一过程中，其信息技术的操作技能也得到了进一步的提高.

另外，随着网络技术的发展，各种网上教育交流平台的建立，为各地的教师提供了更多的交流机会.各地优秀教师的工作经验在网上都可以得到共享，先进的教学思想教学理念及教学方法可以在网上得到共赢.

当然，信息技术在高中课堂的应用虽给数学教育带来了许多有利的改变，为数学教学提供了更多的选择，但在实际的课堂教学应用过程中，仍存在不少问题，如有些教师片面追求信息技术，忽视对教学内容的探讨，忽视学生的主体能动性的发挥.所以，我们要重视学生的主体性，也要重视教师的学科专业知识，重视这些专业知识在高中数学教学中的应用.F

*上海市松江区立项课题《基于PCK的高三数学教学设计研究》（编号：B1379）.