夏 莉， 李敬娜, 王 玲， 张园园

(1.广东财经大学 数学与统计学院，广东 广州 510320；2.暨南大学 信息科学技术学院 数学系, 广东 广州 510632；3.广东水利电力职业技术学院 数学部, 广东 广州 510635;4.西南财经大学 证券与期货学院，四川 成都 611130)

带梯度项奇异抛物方程解的存在性及渐近行为*

夏 莉1， 李敬娜2, 王 玲3， 张园园4*

(1.广东财经大学 数学与统计学院，广东 广州 510320；2.暨南大学 信息科学技术学院 数学系, 广东 广州 510632；3.广东水利电力职业技术学院 数学部, 广东 广州 510635;4.西南财经大学 证券与期货学院，四川 成都 611130)

利用抛物正则化方法及上下解方法、Fatou引理等，研究了一类带梯度项奇异抛物方程非负古典解，得到了该解的存在性及相应的渐近行为.

梯度项；奇异性; 存在性; 渐近行为

考虑下面一类抛物方程：

(1)

满足如下初边值条件:

(2)

w(x,0)=ψ(x),x∈Ω,

(3)

这里ΩT=Ω×(0,T],Ω⊂RN(N≥2)是一个具有光滑边界∂Ω的有界区域，T,λ,l,m均为正数.

问题 (1)～(3) 近年来得到了很多关注. 当l=2,m=1时, 该问题古典解及弱解的存在性、唯一性，解的渐近行为获得了证明，参见文献[1，2]. 当l=2, 1≤m<2时, 周文书及雷沛东[3]证明了问题(1)～(3)在一维空间中多个弱解的存在性. 当l=2,m>0时, 文献[4]研究了上述问题的弱解在t→∞时的渐近行为. 2014年，I.D.Bonis及D.Giachetti[5]还证明了l=2, 0

(H3)m>0,m+1≤l≤2或m

引理1[2]在假设条件(H1)(H2)下, 下面的初边值问题

wt-Δw=g(x,t), (x,t)∈ΩT,

(4)

w(x,0)=ψ(x),x∈Ω,

本文主要结果如下:

(5)

这里C0,β是两个确定的正数,w0是引理1中初边值问题的唯一古典解. 而且, 当λ→∞时,

(6)

特别当2m≤l≤2时, 令λ→0, 则

(7)

下面我们证明定理1.

由于方程(1)在w(x,t)=0具有奇异性, 先将其正则化为:

(8)

将上述不等式中不等号反向, 可得古典下解的定义.

(9)

这里β≥1均是待定的正数, 且β的选取与l,m的取值有关.

证明 由比较原理(可参考文献[……