☉江西省九江第一中学 伍锡浪

类比“虚椭圆”，研究双曲线

☉江西省九江第一中学 伍锡浪

众所周知，为了解决在实数范围内不可能解出的方程x2+1=0而引入了虚数单位“i”.笔者拜读了《2008年安徽卷（理）题22探幽》和《龙门专题：新课标高中数学解析几何》之后，采用类比思想引入了虚数“i”，把双曲曲线x2-y2=1也可以看成“虚圆”x2+（iy）2=1），利用椭圆已有的一些性质去类比研究了双曲线的类似性质，敬请前辈们及广大读者批评指正.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交于两个

现摘抄文1的部分结论.

分析：（Ⅰ）略.

（Ⅱ）不难求证点Q（x，y）总在定直线2x+y-2=0上.问题已经解决，但是思维的火花并未结束，问题在于Q点所在直线是条满足什么条件的直线呢？转动直线l，当l与椭圆相切时，此时，A、Q、B三点重合于切点，此时点Q依然满足条然题目要求证明点Q在某条定直线上，那么这条直线是否为切点弦MN所在的直线呢？（如图1所示）实际上，过P点向椭圆C所引两条切线，两=1，即2x+y-2=0，即Q点总在切点弦上.

图1

文1证明了结论1，给出了结论2，笔者引入虚数“i”给出结论2的另一种证法.

背景2下面摘抄文2中利用点差法证明了椭圆的性质结论3，同时给出了双曲线的类似的结论4.

笔者引入虚数“i”，在结论3的基础上，给出结论4的另一种证法.

背景3下面再摘抄文2中的椭圆的性质结论5，以及双曲线的类似的结论6.

有兴趣的读者不妨也可以在结论3的基础上，证明上面的结论6.

小结：由此可见，类比“虚椭圆”研究双曲线，为解决高中解析几何中的问题，引出了新的途径，不仅过程简洁、新颖、独特，效果事半功倍，而且能引导学生类比、联想、分析和概括，有助于拓展开放性的思维空间，提高创新能力.

1.江民杰.2008年安徽卷（理）题22探幽［J］.中学数学（上），2009（3）.

2.傅荣强，佟志军.新课标高中数学解析几何［M］.北京：龙门书局，2010.F