王正元

（中国石油天然气股份有限公司，北京 100007）

等值幻方砌块型完美幻方的构造

王正元

（中国石油天然气股份有限公司，北京 100007）

证明了当使用等值幻方砌块时，若砌块编号构成等泛对角线和的方阵，则所构成的幻方为完美幻方，并给出了构造等值幻方砌块模板的简便方法.

等值幻方;完美幻方

等值幻方砌块型完美幻方是一类特殊的完美幻方，其中每一个砌块都是一个低阶的完美幻方，而且它们的幻和也全都相同.文[1-5]报道了这类完美幻方的构造方法：砌块的阶数为4阶，具有统一的计算公式；依次取j=1，2，…，k2(k∈N )计算出编号为j的砌块，并将它们按照1～k2的自然方阵的顺序排列起来，就可得到4k阶完美幻方.

等值幻方砌块的计算公式称为砌块模板.文[1-5]共报道了4个砌块模板，图1即是其中的一个[1].

图1 等值幻方砌块模板示例Fig.1Example of equivalent magic square block template

仔细研究这4个砌块模板，可以发现，砌块模板有如下特点：（1）当j依次历遍1～k2时，所有砌块所包含的数恰好历遍1～m2k2（m为砌块的阶数.对文[1-5]，m= 4）；（2）每一个砌块都是幻和相等的完美幻方（对于文[1]～[5]所涉及的4阶等值砌块，这个幻和为32k2+ 2）；（3）每一个数的计算公式都是编号j的一次函数.（1）和（2）是对砌块模板的基本要求，也可视为其定义.而本文将基于对第（3）个特点的认识，得出新的结论，并将砌块模板推广到任意4t阶.

1 关于构造法

基于砌块模板中每一个数的计算公式均为j的一次函数这一前提，本文将证明如下结论：

定理 若存在m阶等值幻方砌块模板，则当砌块编号构成k×k的等泛对角线和的方阵时，所构成的幻方为mk阶完美幻方.

证明 记m阶等值幻方砌块为

并称砌块编号构成的k×k方阵为幻方的安装模板.

因为计算公式fxy为j的一次函数，当k取定时，可写作

由于砌块为等值幻方，每一个砌块的行列和均相等，记为σ，则显然mk阶数字方阵的行列和均等于kσ.

考察mk阶数字方阵的泛对角线.由等值幻方砌块的定义易知，那些由砌块的主、副对角线连接而成的泛对角线上数字之和也都等于kσ.其他的泛对角线穿越2k个砌块，砌块编号形成安装模板两条平行且相邻的泛对角线.设安装模板一条泛对角线的编号为j1，j2，…，jk，另一条泛对角线的编号为易知，对所有的jr，mk阶数字方阵的泛对角线所穿过的fxy，其位置xy均对应相同.对编号为的砌块有同样的结论.并且，砌块中的 fx′y′正好与jr砌块中的那些fxy构成m阶方阵中的一条泛对角线.举个例来说，若该泛对角线穿过j1的f21，f32，…，fm，m-1，则它也穿过j2，…，jk这些砌块中的j21，j32，…，fm，m-1.而在所有砌块中，它则穿过f1m.而f21，f32，…，fm，m-1和f1m构成了m阶等值幻方砌块的一条完整的泛对角线.

对任意指定的xy，

mk阶数字方阵整条泛对角线的数字之和为：

又由于m阶砌块由等值幻方砌块模板得来，根据对砌块模板的要求，它本身应满足“当j依次历遍1～k2时，所有砌块所包含的数恰好历遍1～m2k2”这一要求，故知mk阶数字方阵为完美幻方.证毕.

自然方阵是等泛对角线和的，完美幻方也是等泛对角线和的，故而都可以作为安装模板.特别的，对于图2的安装模板，它虽然既不是自然方阵，也不是完美幻方，但也是等泛对角线和的，采用图1的砌块模板，同样可以成功构造完美幻方.如令k=4，即可得图3的16阶完美幻方.

图2 安装模板Fig.2Assembly template

图3 16阶等值幻方砌块型完美幻方Fig.3 16-order perfect magic square constructed by using equivalent magic square blocks

2 4k阶砌块模板的构造

在上面的定理中，首先假设了m阶等值幻方砌块模板存在，而我们确知，当m=4时，这样的砌块模板确实是存在的.对于任意的m=4t，可以用下面的方法构造出满足要求的砌块模板.

砌块模板构造法：任取一个4t阶完美幻方（称其为砌块模板的“源幻方”），将其中的各数分别标记以A、B，要求任意行、任意列和任意一条泛对角线上，均各有2t个A和2t个B.

若源幻方中标记为A的数为a，则将其置换为（a-1）*k2+j；

若源幻方中标记为B的数为b，则将其置换为b*k2-j+1.

经过这样的置换后，得到的就是4t阶等值幻方砌块模板.

证明 记4t阶源幻方的幻和为σ.由构造法易知，经置换后，所得4t阶方阵任意行、任意列和任意一条泛对角线各项之和均为（σ-2t）*k2+2t，因此4t阶方阵具有完美幻方的性质，且是等值的，与编号j无关.

显然，计算公式的所有得数均大于0.但还需要证明当j遍历1～k2时，由砌块模板计算出的所有数恰好遍历1～m2k2.

首先，在同一个编号为j的砌块内，其各数均不相同.这是因为任意标记为A的两数a1，a2，其得数之差为（a1-a2）*k2≠0；任意标记为B的两数b1，b2，其得数之差为（b1-b2）*k2≠0.而对于任意的a1和b1，其得数之差为（a1-b1-1）*k2+2j-1.由于1≤j≤k2，所以1≤2j-1≤2k2-1.而若a1>b1，则有

若a1

这表明，总有（a1-b1-1）*k2+2j-1≠0.因此，在同一个编号为j的砌块内，其各数均不相同.

其次，对于编号j1，j2两个不同的砌块，相同位置上（无论被标记为A或B）两个得数之差的绝对值总是等于|j1-j2|.而不同位置上的两数，若j1砌块中标记的为a1，j2砌块中标记的为a2，则得数之差为（a1-a2）*k2+j1-j2；若j1砌块中标记的为b1，j2砌块中标记的为b2，则得数之差为（b1-b2）*k2+j2-j1；若j1砌块中标记的为a1，j2砌块中标记的为b2，则得数之差为（a1-b2-1）*k2+（j1+j2）-1.注意到1-k2≤j1-j2≤k2-1，1

又，源幻方中的1若被标记为A，即a=1，则当j=1时取得最小数为1；若被标记为B，即b=1，则当j=k2时取得最小数为1.总之，得数1总是可以得到的，且为所有数中的最小数.

另一方面，源幻方中的m2若被标记为A，即a=m2，则当j=k2时取得最大数为m2k2；若被标记为B，即b=m2，则当j=1时取得最大数为m2k2.总之，得数m2k2总是可以得到的，且易知其为所有数中的最大数.

综合上述，则知当j遍历1～k2时，由砌块模板计算出的所有数恰好遍历1～m2k2.因此，按本文给出的构造方法所得到的m=4t阶方阵满足对等值幻方砌块模板的要求，确为所求的砌块模板.证毕.

以一个8阶完美幻方为例.可将它标记如图4，而图5即是由图4得到的8阶等值幻方砌块模板.同样用图2的安装模板，令k=4，则可得图6的32阶完美幻方.经验证，它的每一个砌块均是幻和为4100的等值幻方砌块.

图4 8阶完美幻方及其AB分布Fig.4 An 8-orderperfect magic square andits AB pattern

图5 由图4导出的8阶等值幻方砌块模板Fig.5 An 8-order equivalent magic square block template derived fromFig.4

如果改变图4中8阶源幻方的分布，如图7，可立即得到另一个不同的8阶等值幻方砌块模板（见图8）.由于m=4t阶完美幻方的这种分布模式有很多，因此任意4t阶等值幻方砌块模板都可以被批量地制造出来.

需要说明的是，文[1-5]的4个砌块模板中，只有文[2]的砌块模板可用本文的方法直接导出，包括本文图1在内的其他几个砌块模板另有其构造方法.本文只是提供了一种简便的构造，至于能囊括文[1-5]的4个砌块模板的更一般的方法，作者将另文专论.

图6 由图5得出的32阶完美幻方（k=4;安装模板采用图2）Fig.6 32-order perfect magic square derived from Fig.5（k=4;assembly template as Fig.2）

图7 图4中8阶完美幻方的另一种AB分布Fig.7 Another AB pattern of the 8-order perfect magic square in Fig.4

图8 由图7导出的8阶等值幻方砌块模板Fig.8 An 8-order equivalent magic square block template derived from Fig.7

[1]李立.用第4类4阶等值全对称幻方砌块构成的4n阶全对称幻方[J].内蒙古大学学报,1985,16(4):501-506.

[2]李立.用第1类4阶等值全对称幻方砌块构成的4n阶全对称幻方[J].数学季刊,1987,2(3):76-81.

[3]李立.用第2类4阶等值全对称幻方砌块构成的4n阶全对称幻方[J].北京联合大学学报,1989,3(1):73-78.

[4]张世德,王际昭.数集构成4n阶泛对角线幻方的充分条件[J].河南师范大学学报:自然科学版,1990,3:70-73.

[5]姬春秋,孙爱国.4n阶全对称幻方的一种构造方法[J].牡丹江师范学院学报:自然科学版,1998,2:6-7,3.

责任编辑：毕和平

On the Perfect Magic Squares Constructed by Using Equivalent Magic Square Blocks

WANG Zhengyuan
（Petro China Company Limited，Beijing100007，China）

In this paper,if the equivalent magic square blocks’sequence numbers construct a square with equivalent pandiagonal sum,a perfect magic square can be obtained,and proved.Furthermore,a convenient method for constructing the templates of equivalent magic square block was given.

equivalent magic square；perfect magic square

O 157.2

：A

：1674-4942（2015）01-0025-05

2014-11-11