陈 静，朱美玲

(1.楚雄师范学院数学与统计学院，云南 楚雄 675000；2.云南经济管理学院工程学院，云南 昆明 650000)

一类二维HM方程局部光滑解的存在唯一性*

陈 静1，朱美玲2

(1.楚雄师范学院数学与统计学院，云南 楚雄 675000；2.云南经济管理学院工程学院，云南 昆明 650000)

本文先得到二维HM方程△ut-ut+vduy+J(u，△u)+△u=0的5个局部估计，接着证明了该方程局部光滑解的存在唯一性.

HM方程；局部估计；局部光滑解

1.引言

在文献[1]中周毓麟先生等考虑了广义形式的流体动力方程

ut-△ut+J(u,△u)+A△ux+B△uy+f(u)x+g(u)y=h(u) 的周期初边界问题和Cauchy问题. 在文献[2]中,韩永前和郭柏林用半群的方法讨论了二维HM方程

ut-△ut+J(u,△u)+kuy=0 ,

得到其弱解的存在唯一性. 在文献[3]中，张瑞风考虑了HM方程的整体吸引子. 在文献[4]中，金珍考虑了HM方程

ut-△ut+J(u,△u)+α△ux+γ△u+βux+vduy=f

的周期解的存在性.陈静在文献[5]中讨论了二维HM方程

△ut-ut+vduy+J(u,△u)+△u=0

弱解的存在性.

本文进一步考虑描述漂移波和离子声波耦合非绝热的电子响应部分的非线性方程

△ut-ut+vduy+J(u,△u)+△u=0

(1.1)

满足周期边界条件

u(x+2D,y,t)=u(x,y+2D,t)=u(x+2D,y+2D,t)=u(x,y,t)，(x,y)∈R2,t≥0

(1.2)

及初始条件u(x,y,0)=φ(x,y)

(1.3)

J(f,g)=∂xf∂yg-∂yf∂xg.

2.局部估计

引理1 若φ(x,y)∈H4(Q)，则存在常数t0>0，使当0≤t≤t0时，对近似解uN(x,y,t)有估计式

(2.1)

证明 用2△3uN与(1.1)做内积得

从而有

由Sobolev内插值公式

其中“·”表示两个向量的点积,最后得

推论1 在引理1的条件下，对近似解uN(x,y,t)有进一步估计

(2.2)

(2.3)

(2.4)

其中p(2≤p<∞)由Sobolev空间的插值公式决定，K2,K3,K4是与N和Q无关的常数，只与‖φ‖H4(Q)有关.

证明 由Sobolev插值公式可得(2.2)与(2.3).

由于J(uN,△uN),J(uN，△uN)与在L∞(0,t0;H2(Q))上有界，得(2.4)成立.

引理2 若φ(x,y)∈H2k+2(Q), (k≥1)，则存在常数t0>0，当0≤t≤t0时，对近似解uN(x,y,t)有估计式

(2.5)

其中K5，t0是与N和Q无关的常数，t0与‖φ‖H4(Q)有关.

证明 用2△2k+1uN与(1.1)作内积得

注意到

因此

于是

引理2得证.

推论2 在引理2的条件下，对近似解uN(x,,y,t)有估计式

(2.6)

则

引理3 若φ(x,y)∈H2k+1(Q)，k≥2，对近似解uN(x,y,t)有估计式

(2.7)

其中K7，t0是与N和Q无关的常数，而与‖φ‖H2k+1(Q)有关.

证明 用2△2kuN与(1.1)作内积得

引理4k≥1时，若φ(x,y)∈Hk+3(Q)，对近似解uN(x,y,t)有估计式

(2.8)

其中l=0, 1, …,k+1,K8,t0是与N和Q无关的常数，而与‖φ‖Hk+3(Q)有关.

证明l=0,l=1时，从引理1—引理3及其推论可得结论. 下证l≥2的情形.

记

由文献[5]得

(2.9)

(2.9)对t求m阶导数得

(2.10)

当k-m为偶数时，令k+1-m=2k′-1，则

当k-m为奇数时，令k+1-m=2k′，则

同理可得‖utm+1N(.,.,t)‖Hk+2-m(Q)=‖‖是有界的.

于是引理得证.

3.局部光滑解的存在唯一性

定理1 若初始函数φ(x,y)∈Hk+3(Q)且满足周期边值条件，则存在常数t0>0,使u(x,y,t)∈W(Qt0)是问题(1.1)-(1.3)的局部光滑解.

定理2 在定理1的条件下，问题(1.1)-(1.3)的局部光滑解

(3.1)

方程(3.1)与w(x,y,t)作内积得

(3.2)

注意到

再利用[5]中的以下估计式

和(2.1),(3.2) 可化为

由Grounwall不等式得‖w(.,.,t)及‖w(.,.,t),

[1]ZhouYulin,GuoBolingandZhangLinghai.PeriodicboundaryproblemandCauchyproblemforthefluiddynamicequationingeophysics[J].PartialDiff.Eqs, 1993, 6：173—192.

[2]GuoBoling,HanYongqian.ExistenceanduniquenessofglobalsolutionoftheHMequation[J].Math.Phys., 2004, 45：1639—1647.

[3]ZhangRuifengandGuoBoling.GlobalattractorforHM[J].AppliedMathematicsandMechanics, 2006, 27(5)：567—574.

[4]金珍.一类HM方程周期解的存在性[J].江西师范大学学报，2008，32(5):593—596.

[5]陈静,朱美玲.一类二维HM方程弱解的存在性[J].楚雄师范学院学报，2014，29(9)：6—10.

(责任编辑 李艳梅)

The Unique Existence of the Local Smooth Solution to the HM Equation in Two Dimension

CHEN Jing1& ZHU Meiling2

(1.SchoolofMathematicsandStatistics,ChuxiongNormalUniversity,Chuxiong, 675000,YunnanProvince;2.SchoolofEngineering,YunnanUniversityofBusinessManagement,Kunming, 650000,YunnanProvince)

In this paper, we firstly get five local estimates about HM Equation △ut-ut+vduy+J(u，△u)+△u=0intwo-dimension,thentheuniqueexistenceofthelocalsmoothsolutionabouttheHMEquationisproved.

HM Equation ；local estimate ；the local smooth solution

楚雄师范学院学术后备人才项目，项目编号：11YJRC12。

2015 - 04 - 23

陈 静(1975—)，女，副教授，研究方向：微分方程。

O

A

1671 - 7406(2015)06 - 0005 - 04