浙江上虞区百官小学城北校区（312300） 陈卓英

“一叶知秋”是指从一片树叶的凋落知道秋天的到来，比喻通过个别的细微的迹象，可以看到整个形势的发展趋向与结果。同样，在教学上，只要看看学生的作业情况，就可以大致了解到教师的教学是成功的，还是失败的。下面这个案例，也许能给我们一些启示。

一、案例背景

原人教版数学课本第十册第四单元中有这样一道习题：“把一根4米长的木料平均分成5段，每段是这根木料的（ ），每段长（ ）米。”该题反馈时，发现全班有50%的学生将两个括号里的答案互相交换了位置，约有40%的学生在两个括号里均填写为4／5，10%的学生在第二个括号里填写 5／4、1／4、1／5 等分数。

笔者在与学生访谈中，发现他们经常会混淆代表具体量和代表分率的两个分数，还有对用除法解决平均分问题时总爱用“大数÷小数”，而不管谁是总数，谁是份数。后来通过老师的讲评，学生订正了错误，可再过几天，出现类似题目，学生又会频频出错。于是，笔者不禁思考：“学生为什么在讲评和多次练习后，还是重复错误呢？这说明了什么问题？”

二、剖因溯源

“两个分数不小心交换了位置”和“除法总是用大数除以小数”这两个问题看起来微小，却体现了学生的认知心理，反映了学生认知上的某种障碍。笔者认为主要原因不外乎以下三种。

(一)教材编排方面

对于“分数的意义”内容，原人教版数学教材分两个阶段安排：第一阶段安排在三年级上册，主要是把一个物体或一个图形看作一个整体；第二阶段安排在五年级下册，主要是把很多物体或多个图形看作一个整体，概括出单位“1”，并将分数的意义拓展到两种含义（即表示一种关系和表示具体数量）。教材这样编排，一方面我们感到分数意义理解的轻重失衡。翻阅原人教版三年级～五年级的数学课本，教材中没有安排独立的课时来研究用分数表示数量，所以和学生在第一学段已建立起“部分和整体的一种关系”相比，分数代表一种数的内容过于单薄。另一方面，我们感到不利于学生学习分数意义的正迁移。教材先让学生理解分数表示“部分和整体的一种关系”，再概括分数的意义，然后学习分数与除法的关系，最后认识分数表示一种关系的另一种意义，这样编排于无形中割裂了分数的两种意义，使学生的学习不能发生正迁移，必然造成错误理解所学的概念。

(二)教师方面

如教学“分数的意义”时，教师不能很好地把握分数意义的教学重点，忽视了知识结构的前后连贯，随着知识难度的增加，原本隐藏的问题开始暴露。

(三)学生方面

由于上述题目中的两个问题非常相似，又比较抽象，很多学生面对问题弄不清是求具体的数量，还是求部分与整体的关系。以前在低年段学习求每份数时，总数都大于份数，结果一般能被份数整除，而到了高年段，学生的思维还是原先的水平，当遇到求具体数量且结果不是整数时，就无从下手了。

三、曲径通幽

基于前面的原因分析，在对教材进行深度解读后，笔者改进教学，从而使教学更有效。

策略（一）：重组教学内容，均衡分数的两种意义

针对原教材中分数两种意义的教学失衡，笔者觉得可以对有关分数的内容进行整合处理，有助于学生比较好地理解分数的意义。

阶段1：三年级上册──强化认知基础，拓展分数意义的理解。

由于三年级学生是在整数认识的基础上学习分数意义的，所以笔者尝试让学生在分水果的过程中体会分数产生的必要性，强调“平均分”是分数的本质特征。

（1）通过把4个草莓、2个橘子、1个苹果分给两个同学的操作，引出“平均分”。

（2）每人得到多少个？学生列式计算，师板书：被除数÷除数＝商。

（3）理解“一半”的意思，引导学生建构1／2的意义。

①把1个苹果平均分成2份，每份是多少？根据除法的意义，想一想，怎么列式？1÷2表示什么意思？1÷2＝？

②引出 1／2，说说 1／2 的意思。

③刚才我们从苹果中找到了1／2，那你能从图形中找出1／2吗？（活动操作过程略）

（4）类比迁移，认识几分之一（略）。

（5）初步感知整体“1”。

师（小结）：由于整体的个数不同，它们的1／2所表示的个数也不一样。

（6）认识分数各部分的名称（略）。

设计思路：从分数的引入开始就把整体“1”的均分和单个“1”的均分结合在一起认识，使学生接纳分数时就较好地建构起比较完整的分数意义。

阶段2：五年级下册──改变编排结构，完善分数认知系统。

“分数的意义”的学习主要是对三年级分数认识系统的完善，教学时笔者除了重点揭示单位“1”和认识分数单位外，还把原本分两个课时教学“分数的意义”与“分数和除法的关系”的新授整合在一节课中尝试教学。

（1）分数与除法关系的认识。

①老师买了6个饼，平均分给3个人，每人得到多少个？

生：6÷3＝2（个）。

②1.5个饼平均分给3个人，每人得到多少个？

生：1.5÷3＝0.5（个）。

……

师：观察这些算式，你发现分数与除法有什么关系？

师（小结）：看来，两个数相除，商不仅可以用小数来表示，也可以用分数来表示。

③如果用字母a表示被除数，b表示除数，谁可以用字母来表示这种关系？（板书：a÷b＝a／b）

师：a／b是a÷b的商，在这里它表示一个具体的量，有时也表示一种关系。

设计思路：以除法的含义为解决问题的主线，让学生感受到解决问题的方法是一样的，只是商的表达方式不同。这样教学，不仅让学生比较清楚地认识到分数和除法之间的关系，又能让学生理解分数可以表示具体数量，为后续学习分数表示分率做好准备。

（2）单位“1”的认识。

①师：看到a／b，你会想到哪些分数？（生答略）

师：请举例说说1／4的含义，也可以画图表示。

②学生反馈交流（略）。

（3）师：在表示1／4的过程中，有什么共同点？（都是平均分成4份，取了其中的1份）有什么不同的地方？（分的物体不同）

（4）在分数与除法、具体量与分率的沟通中认识单位“1”。

（5）师（小结）：我们把一个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数表示。这个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。表示其中的一份的数叫分数单位。

设计思路：这里抓住1／4这个突破口，强化1／4的含义，引导学生理解虽然单位“1”不同，但都是用分数1／4表示。通过图的变换，让学生对单位“1”是一个物体的认识，逐步拓展到单位“1”是多个物体的认识，进一步理解单位“1”和分数单位。

策略（二）：指导学习方法，引领分数的两种意义

分数是小学数学学习中的一个重点，尤其是刚开始接触分数时，学生对于正确区分量、率更是个难点。教学中，教师可给学生提供适当的学习方法，让学生在学习新知时收到事半功倍的效果。

1.单位区分。

如上述题目，分析时可以先从题目的字面入手，引导学生仔细审题，观察这两个问题有什么异同。通过比较，学生发现第一个括号后面没有单位，而第二个括号后面是有单位的。如“每份占总量的几分之几”“甲是乙的几分之几”所表示的就是分率，分率是没有单位的；如“每段长几分之几米”“每份是几分之几”所表示的就是具体数量，数量是有单位的。第一个问题“每段是这根木料的几分之几”，求的是分率，以木料的全长为标准；第二个问题“每段长几米”，求的是数量。

2.数形结合。

我们可以借助画线段图或示意图等方法来帮助学生理解题意，从而把抽象的问题变为直观图形。如上述错例分析中，可以引导学生根据题意分别画出两幅线段图。如下图：

师：图1是把谁看做单位“1”？（整根木料）平均分成几段？（5段）其中的一段就是表示“每段是这根木料的几分之几”，用算式表示是1÷5＝1／5。图2是把谁平均分成5段？（4米长的木料）每段是多少米？用算式表示是4÷5＝4／5（米）。

策略（三）：拓展题目类型，强化分数两种意义

认识分数与除法的关系后，可以设计一些专门区分分数两种意义的对比练习题，以便学生更好分辨“什么时候是一种关系，什么时候是具体的数量”“什么时候该加单位，什么时候不该加单位”。如下：

（1）基础练习。

①一根5米的钢管平均截成8段，每段是这根钢管的（ ），每段长（ ）米。

②同学们到植物园参观，用25分钟走了2千米，平均每分钟走（ ）千米。

（2）拓展练习。

①小明做完以下三项作业要2小时，其中做作业用了1／2小时，听英语用了1／4小时，那剩下的体育锻炼要用几小时？

②小明做完以下三项作业要2小时，其中做作业用了所有时间的1／2，听英语用了1／4，那剩下的体育锻炼用了全部时间的几分之几？

笔者对于三年级和五年级两次教学分数的内容各有侧重，从教学情况和效果来看，虽然仍有很多不成熟的地方，但能帮助学生比较完整地掌握分数的两种意义，为今后小数乘除法、分数乘除法等计算教学和相关的解决问题的教学做好铺垫。