冯淑丽

自2007年山东实施新课标高考以来，对数列的考查无一例外（当然除2009年略有不同）的采取了一种固定的考查模式：第一问求数列的通项公式;第二问求数列的前n项和.基本上所有的求和方法都有所涉及：乘公比错位相减法，裂项相消法，分组求和法，根据n的奇偶性分类讨论，并项求和法等.人们猜测2014年的高考数列会考哪种求和方法？我想在各种求和方法都训练到位的前提下，今年的数列题目应该不算是个难题.

题目 已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列.

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式;

（Ⅱ）令bn=（-1）n-14nanan+1，求数列{bn}的前n项和Tn.

该题目的新颖之处在于第二问，进行了绝妙的创新设计，要求考生准确掌握数列的基本思想，同时也对思维的灵活性提出了较高的要求.当看到通项公式bn=（-1）n-14nanan+1=（-1）n-14n（2n-1）（2n+1），大部分同学会一下子想到“裂项相消法”，但是用传统的裂项法却很难办;又看到（-1）n-1也会联想到分类讨论或者是“并项求和”等思想方法.

解法1 裂项求和法.

裂项方法之一：在尝试了“裂差”的失败之后，同学们应该能够想到这样的一种“裂和”的方法：bn=（-1）n-14n（2n-1）（2n+1）=（-1）n-1（12n-1+12n+1），然后写出Tn的表达式Tn=（11+13）-（13+15）+（15+17）-（17+19）+…+（-1）n-1（12n-1+12n+1）.

观察前几项的抵消规律：每一项中的第二个数与它后一项的第一个数相抵消，由特殊到一般，归纳出Tn的一般表达式.显然再由n的奇偶性决定了最后一项是“+”号还是“-”号，因此这个题目很自然地想到根据n的奇偶性去讨论：

①若n为偶数，则Tn=（11+13）-（13+15）+（15+17）-（17+19）+…-（12n-1+12n+1）

=1-12n+1=2n2n+1.

②当n为奇数，则Tn=（11+13）-（13+15）+（15+17）-（17+19）+…-（12n-3+12n-1）+（12n-1+12n+1）

=1+12n+1=2n+22n+1.

裂项方法之二：由传统的裂项方法想到：因为2（2n-1）（2n+1）=12n-1-12n+1，所以bn=（-1）n-14n（2n-1）（2n+1）=（-1）n-1（12n-1-12n+1）2n=（-1）n-1（2n2n-1-2n2n+1），

所以Tn=（21-23）-（43-45）+（65-67）-（87-89）+…

=2-23-43+45+65-67-87+89+…

=2-（23+43）+（45+65）-（67+87）+89+…

结合着“并项求和……