苗相军+王广燕

一道好的数学习题，不仅要自然简明，还要寓意深刻;一道好的数学习题，能够培养学生发现问题及解决问题的能力.近期，济宁市高中数学质量检测中有一道优秀的试题，本文就这道数学质检题做一点有意义的讨论.

题目 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）过点A（1，32），离心率e=32，点B（0，b）.

（Ⅰ）求椭圆E的方程;

（Ⅱ）设点C是椭圆E上任意一点，求线段BC长度的最大值，并写出此时点C的坐标;

（Ⅲ）设点D是椭圆E上一点（异于点B），过D作椭圆的切线l，寻求所有的点D，使直线BD⊥l.

解 （Ⅰ）椭圆E的方程为x24+y2=1.

（Ⅱ）设点C（x，y），则x2=4-4y2，B（0，1），则线段BC的长度BC=x2+（y-1）2=-3y2-2y+5，其中y∈[-1，1].当y=-13时，BCmax=433，此时C（±423，-13）.

（Ⅲ）设点D（x0，y0），显然y0<0.现研究函数y=-124-x2的导数：y′=x24-x2，这时切线l的斜率k1=y′x=x0=x024-x20=-x04y0.又直线BD的斜率k2=y0-1x0（x0≠0），要使直线BD⊥l，当且仅当k1k2=-1，即（-x04y0）（y0-1x0）=-1，从而y0=-13，这时点D的坐标为（±423，-13）.当x0=0时，这时D（0，-1），此时BD⊥l.所以符合条件的点D共有3个，分别是D（±423，-13），D（0，-1）.

讨论1：对一般椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）而言，问题（Ⅲ）中的点D有哪些？

设点D（x0，y0），显然y0<0.现研究函数y=-baa2-x2的导函数：y′=bxaa2-x2，这时切线l的斜率k1=y′x=x0=bx0aa2-x20=-b2x0a2y0，

当x0=0时，这时D（0，-b），符合BD⊥l.

当x0≠0时，直线BD的斜率k2=y0-bx0，要使直线BD⊥l，当且仅当k1k2=-1，即（-b2x0a2y0）（y0-bx0）=-1，于是y0=-b3a2-b2，从而x20=a2b2（b2-y20）=a4（a2-2b2）（a2-b2）2.

当a2>2b2，或e>22时，点D的坐标±a2a2-2b2a2-b2，-b3a2-b2;

当a2=2b2，或e=22时，x0=0;

当a2<2b2，或e<22时，x0不存在.

综上所述，当e≥22时，符合条件的点有3个，分别是D（±a2a2-2b2a2-b2，-b3a2-b2），D（0，-b）.

讨论2：从问题（Ⅱ）（Ⅲ）答案可以看出：线段BC长度的最大值似乎与BC⊥l有联系，这种联系是什么呢？

设点C（x，y）是函数y=-124-x2图象上任意一点，BC的长度BC=f（x）=x2+（y-1）2=34x2+4-x2+2，x∈（-2，2）.

容易发现BC=f（x）在区间（-2，-423）、（0，423）上是增函数，在区间（-423，0）、（423，2）上是减函数，所以f（x）在x=±423处取得极大（最大）值，在x=0处取得极小值.而在此时都有BC⊥l.由此，可以猜想并证得：

图1

定理1 如图1，设点C（x，y）是函数y=f（x）图象F上任意一点，过点C作图象F的切线l.定点B（a，b）不在函数图象F上.当线段BC的长度BC=g（x）取得极大（小）值时，则BC⊥l.

证明 因为BC=g（x）=（x-a）2+（f（x）-b）2，

所以g′（x）=（x-a）+（f（x）-b）f′（x）（x-a）2+（f（x）-b）2.

当线段BC的长度取得极大（小）值时，g′（x0）=0，所以（x0-a）+（f（x0）-b）f′（x0）=0. ①

又直线BC的方向向量m=（x0-a，f（x0）-b），切线l的方向向量n=（1，f′（x0）），式①表明m⊥n，所以BC⊥l.

讨论3：现在考虑问题的一种推广：两个定点的情况.

应用光学反射定律，可以猜想并证得：

图2

定理2 如图2，设点C（x，y）是函数y=f（x）图象F上任意

一点，过点C作图象F的切线l及法线l′.两定点A（a，b）、B（m，n）

不在图象F上.当线段AC、BC长度之和AC+BC=g（x）取得

极大（小）值时，α=β.

证明 因为AC+BC=g（x）=（x-a）2+（f（x）-b）2+（x-m）2+（f（x）-n）2，

所以g′（x）=（x-a）+（f（x）-b）f′（x）（x-a）2+（f（x）-b）2+

（x-m）+（f（x）-n）f′（x）（x-m）2+（f（x）-n）2.

当g（x）取得极大（小）值时，g′（x0）=0.

所以（x0-a）+（f（x0）-b）f′（x0）（x0-a）2+（f（x0）-b）2+

（x0-m）+（f（x0）-n）f′（x0）（x0-m）2+（f（x0）-n）2=0. ②

由于CA=（a-x0，b-f（x0）），CB=（m-x0，n-f（x0）），切线l的方向向量n=（1，f′（x0）），于是cos（π2-α）=CA·nCAn，cos（π2+β）=CB·nCBn.结合②，得cos（π2-α）+cos（π2+β）=0，从而cosα=cosβ，所以α=β.

讨论4：当两个动点分别位于两条曲线上时，结果又如何呢？

图3

定理3 如图3，设点B（a，b）是函数y=f1（x）图象F1上任意一点，过点B作图象F1的切线l1，点C（m，n）是函数y=f2（x）图象F2上任意一点（假设F1与F2没有交点）.当线段BC长度BC=u（a，m）取得极大（小）值时，则BC⊥l1，BC⊥l2.

证明 因为BC=u（a，m）=（a-m）2+（f1（a）-f2（m））2，

所以ua=（a-m）+（f1（a）-f2（m））f′1（a）（a-m）2+（f1（a）-f2（m））2，

um=-（a-m）-（f1（a）-f2（m））f′2（m）（a-m）2+（f1（a）-f2（m））2.

当u（a，m）取得极大（小）值时，

u′a（a0，m0）=0，u′m（a0，m0）=0. ③

由于BC=（m0-a0，f2（m0）-f1（a0）），切线l1的方向向量为n1=（1，f′1（a0）），切线l2的方向向量为n2=（1，f′2（m0）），结合③得BC⊥n1，BC⊥n2，所以BC⊥l1，BC⊥l2.

讨论5：最后给出一个定点与一个曲面上的动点情形及分别位于两个曲面上两个动点的情形.

图4

定理4 如图4，在空间直角坐标系O-xyz中，点C（x，y，z）是曲面E：z=f（x，y）上任意一点，过点C作曲面E的切平面α.定点B（a，b，c）不在曲面E上，当线段BC长度BC=u（x，y）取得极大（小）值时，则BC⊥α.

证明 因为BC=u（x，y）=

（x-a）2+（y-b）2+（f（x，y）-c）2，

所以

ux=（x-a）+（f（x，y）-c）zx′（x-a）2+（y-b）2+（f（x，y）-c）2，

uy=（y-b）+（f（x，y）-c）zy′（x-a）2+（y-b）2+（f（x，y）-c）2.

当u（x，y）取得极大（小）值时，

u′x（x0，y0）=0，u′y（x0，y0）=0. ④

由于BC=（x0-a，y0-b，f（x0，y0）-c），m=（1，0，zx′）是对x轴切线的方向向量，n=（0，1，zy′）是对y轴切线的方向向量，由④可得BC⊥m，BC⊥n，所以BC⊥α.

定理5 在空间直角坐标系O-xyz中，点B（a，b，c）是曲面E1：z1=f（x，y）上任意一点，过B作曲面E1的切平面α.点C（m，n，l）是曲面E2：z2=g（x，y）上任意一点，过C作曲面E2的切平面β（假定E1与E2没有公共点）.当线段BC的长度BC=u（a，b，m，n）取得极大（小）值时，则BC⊥α，BC⊥β.

证明 略.

最后，指出十分重要的一点：定理1～5中，当线段（或之和）有唯一极大（小）值时，此时极大（小）值就是最大（小）值，定理中的结论不仅是取得最值的必要条件，还是取得最值的充分条件！