王小华 胡海峰 廉旭刚

(太原理工大学矿业工程学院，山西 太原030024)

研究开采沉陷动态过程对于预防沉陷灾害的发生具有重要的实用价值，对此，Knothe［1］于1952 年提出了Knothe 时间函数模型，但经实践证明该模型不符合地表下沉的客观过程;常占强等［2］假设地表观测点的沉陷速度在整个沉陷过程的中间时刻最大，将沉陷过程划分为前后对称的2 个过程，采用对加速和减速阶段分别建模的方法改进了Knothe 时间函数，但基于该对称假设建立的模型不完全符合实际情况;徐洪钟等［3］采用了Logistic 曲线研究地表下沉的动态过程，但该曲线模型为生物增长模型，其增长量的增加应有一定的基数基础，同时该模型求出的下沉速度和加速度在初始时刻均不为0，这显然不符合开采引起的地表沉陷的客观规律。一些学者也从不同的角度研究了描述地表沉陷区观测点下沉量的时间序列函数［4-6］，但该函数模型描述的地表下沉不完全符合地表沉陷的客观过程;刘玉成等［7-8］分别从下沉曲线形状、下沉速度和加速度3 个方面比较分析了现有的各类时间函数模型对描述地表沉陷过程的适应性，指出只有Weibull 时间序列函数能够完整描述地表沉陷的动态过程，并基于该函数建立了地表沉陷的动态概率积分模型。在各类开采沉陷预计模型中，负指数法因其预计参数通常表示为与地质采矿条件数据有关的经验公式，函数形式直接根据实测资料选定，使得预计结果更接近地表沉陷的真实状况，在表示对于拐点不呈反对称的实际下沉曲线方面具有更大的灵活性［9］。为此，在充分研究采场上覆岩层破断特征［10-12］及工作面停采后地表移动变形规律［13-17］的基础上，将Weibull 时间序列函数与负指数沉陷函数相结合，建立充分采动条件下走向主断面的动态地表移动变形模型，研究开采沉陷的动态过程。

1 建模理论基础

1.1 Weibull 时间序列函数

采用Weibull 曲线函数描述地表沉陷区某观测点下沉量与时间的关系，表达式为

式中，Wm为地表沉陷区观测点沉陷稳定后的最大下沉量，mm;n1为与采空区上覆岩层性质有关的参数，决定地表观测点下沉过程的时间长短;t 为观测点下沉所用的时间，d;k 为与采空区上覆岩层性质有关的参数，决定地表观测点在下沉过程中时间轴上的运动路径，可由下沉速度和加速度的变化规律体现。参数n1、k 可通过最小二乘法拟合确定。

对式(1)计算一阶和二阶导数分别得到地表观测点下沉速度v(t)和加速度a(t)的函数表达式

文献［7］通过分析得出Weibull 函数曲线大致呈“S”型，能有效描述地表沉陷有限增长的动态过程，且下沉速度的变化过程为0 →vmax→0 ，加速度的变化过程为0 →+amax→0 →－amax→0 ，均与地表沉陷的物理过程相符合。

1.2 走向主断面半无限开采负指数法下沉预计公式

地表下沉盆地稳定后，走向半无限开采的负指数法下沉预计公式为［18］

式中，Cym为沿走向的采动程度系数;H 为煤层采深，m;W0为充分采动条件下地表的最大下沉值，mm;a，n，c 为负指数法的特定参数，a 为横向发育系数，n 为形态系数，c 为最大下沉点的位置系数。

式(3)中参数a，n，c 可按照文献［19］给出的3种方法(最小二乘法、图解法和电算法)求取，若缺乏实测地表移动观测资料，可按照类比法并参照矿区已有的相关资料选取参数。煤层上覆岩层中硬条件下负指数法的有关预测参数见表1。

表1 中硬岩层条件下模型的预测参数值Table 1 Model prediction parameter values of medium hard rock strata

2 地表沉陷动态负指数法预计模型

2.1 主断面动态沉陷模型的一般形式

地表沉陷盆地内观测点的下沉变化过程在时间和空间上是相对独立的，表现在剖面线上任意点在时间轴上的下沉过程以及整条剖面线在空间轴的下沉过程具有相对独立性［20］。因此地表沉陷盆地主断面上的动态下沉计算模型可定义为

式中，wm(x)为地表沉陷盆地稳定后主断面的下沉曲线函数;φx(t)为地表沉陷盆地主断面上任意x 点的下沉时间序列函数。

文献［21］通过采用FLAC3D软件模拟煤层的连续开采过程，并结合地表沉陷结果，得出了在相同的开采条件和过程中，地表沉陷盆地主断面任意2 点的下沉过程在时间上具有相同的运动规律。因此沉陷盆地主断面上的所有观测点下沉时间序列可用函数φ(t)来表示，即φ(t)= φx(t)，于是，地表沉陷盆地主断面的动态下沉模型可表示为

2.2 充分采动走向主断面动态负指数法预计模型

走向主断面在充分采动条件下，随着工作面的不断推进，下沉曲线也向前移动，其位置关系见图1(l0为超前影响距离，m;ω 为超前影响角，(°);δ0为边界角，(°))，以工作面开采至P1时的坐标系统为准，设工作面向前推进l 时所用的时间为t。

图1 下沉曲线随的位置变化Fig.1 Position change of subsidence curves

当地表下沉盆地稳定后，此时走向半无限开采的负指数法下沉预计公式为

式中，l 为工作面推进距离，m。

将式(4)、式(5)中的主断面的下沉曲线函数wm(x)用走向半无限开采的负指数法下沉预计公式(式(6))表示，主断面上所有观测点下沉的时间序列函数φ(t)用Weibull 时间序列函数(式(1))表示，则可建立充分采动条件下走向主断面的动态沉陷负指数法下沉预计模型

对(7)式分别计算x 的一阶、二阶导数，可得到充分采动走向主断面动态沉陷负指数法倾斜和曲率预计模型

由文献［19］给出的水平移动、水平变形与倾斜、曲率的关系可得到充分采动走向主断面动态沉陷负指数法水平移动和水平变形预计模型

3 应用实例

山西某煤矿开采一工作面走向长约1 850 m，倾向长270 m，煤层平均采深约610 m，煤层开采厚3.3 m，煤层倾角约7°。在走向主断面上方地表距离开切眼约1 260 m 处沿着煤层开采方向设立一走向观测线，共设观测点48 个，点间距25 m，沿着工作面推进方向观测点编号顺序为348#，347#，…，301#，随后在2012 年7 月—2014 年8 月连续进行了21 次观测。地面沉陷有效观测点为301#～343#点，对下沉量最大的343#点的各期下沉量采用Weibull 时间序列函数拟合，得到参数n1=0.00 035 mm/d，k =3.11。该工作面上覆岩层多为粉砂岩和泥岩，岩性较软，且松散层较厚，参考该矿已有的参数资料，综合选取下沉系数q=0.86，水平移动系数b=0.25，沿走向的采动程度系数Cym=0.94。将最终稳定后的各观测点数据采用文献［8］给出的最小二乘法拟合，计算出负指数法的特定参数a=3.6，n=3.1，c=tan30°。

采用图1 所示坐标系统，下沉10 mm 的343#点即图1 中的N1点，所对应的的工作面开采位置为P1点。4 期不同的l、t 值所对应的预测曲线见图2，其中第2 期和第4 期相应观测点的实测值、预计值及预计误差见表2。

图2 走向主断面下沉曲线随时间变化Fig.2 Main section subsidence curves change with time

由图2、表2 可知，下沉预计曲线随时间的变化符合工作面推进过程中地面沉陷的实际过程;第2 期和第4 期的预计曲线与实测曲线形态相近，2 期的最大相对误差分别为7.3%和2.7%，拟合效果较好。

表2 预计误差Table 2 Prediction error

充分采动走向主断面动态倾斜、曲率、水平移动和水平变形曲线，见图3。由图3 可知，基于Weibull时间序列函数和负指数法的动态沉陷预计模型在一定程度上可描述煤层工作面开采过程中地表沉陷的动态变化过程。

4 结 语

分析了Weibull 时间序列函数描述开采沉陷区观测点的动态变化过程，并给出了充分采动条件下走向主断面负指数法的下沉预计公式及参数求取方法。在此基础上，将Weibull 时间序列函数与负指数法相结合，建立了充分采动条件下走向主断面动态负指数法预计模型，并进行了实例验证分析。结果表明，该模型的地表动态沉陷预测结果与实际观测值的误差较小，从而证明了该模型的有效性。

图3 4 类曲线随时间的变化Fig.3 Four kinds of curves change with time

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