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关联呼应:源自理解数学和苦心经营
——对“垂径定理”教学的再设计

2015-03-22江苏省如东县岔河中学季卫东

中学数学杂志 2015年22期
关键词:平分圆心轴对称

☉江苏省如东县岔河中学 季卫东

关联呼应:源自理解数学和苦心经营
——对“垂径定理”教学的再设计

☉江苏省如东县岔河中学 季卫东

一、写在前面

最近参与某区一次大型教学研讨活动(参与听课的来自该地区所有初三数学教师,200多人),其间开设了一节初三“垂径定理”的公开课,活动流程清晰,学生思维活动量较大,教师“基本功”(传统意义上的“三字一话”)扎实,课后是应景式的、标签式的、客套式的赏析评课,一节优秀课就这样被定义了,似乎各自回到教学岗位后,以后的新授课就可以这样上了.然而近年来笔者阅读喜欢与涉猎所限,颇受人民教育出版社资深编审章建跃博士的影响,章博士在参加一些评优课之后,受当时当地环境、氛围的限制,并没有对有些参赛课给出更多商榷意见,而是在活动之后以文章的形式,对该课给出基于深刻理解数学的高度上的重新设计,给人以耳目一新之感.笔者力所不及,然心向往之,也想对这次活动中的“垂径定理”教学给出自己能力范围下的“再设计”,供批判与研讨.

二、“垂径定理”公开课教学流程概述

【精心导入】

探究1:有一张圆形纸片,请同学们找圆心,比比谁找得快!

听课记录:课前学生每人都准备了一张圆形纸片,折纸活动很顺利,很多学生都通过折叠两次获得圆心,教师再安排一个学生到前面演示确认,从而引出追问:圆是什么图形?(轴对称图形)

填空:圆是______对称图形,它的对称轴是______.

探究2:如何证明圆是轴对称图形?

图1

听课记录:教师安排学生在小组讨论后汇报证明思路,并用PPT给出证明过程.

探究3:在图1中增加一条弦,使得它仍是轴对称图形.

听课记录:学生画出不同的情形,教师从中选择一个画出了垂直于弦的直径的图形,为研究垂径定理的证明服务.其他图形则先放下,教师指出,以后再研究其他情况的图形.

图2

【新知探究】

教师由学生画出的轴对称图形,利用图2,引导学生归纳并证明垂径定理.

填空:_____,定理:_______________.

听课记录:教师在学生得出概念和简略证明的基础上给出垂径定理的图形、符号语言,但没有提及垂径定理的推论.

【精讲示范】

例在直径为10cm的圆中,弦AB的长为8cm,求圆心O到弦AB的距离.

听课记录:师生合作添加辅助线弦心距、半径,构造经典的直角三角形基本图形,并为学生总结弦心距、弦的一半、半径之间的平方关系式.

【巩固训练】

两道练习题(中考试题,略).

学生自编题:运用垂径定理自编一道计算题.

听课记录:学生自编题耗去近10分钟,学生要画图、构思已知和问题,预设图形中不同的数据,最后教师利用实物投影展示了三个学生的问题设计,并请其他同学解答,所以花时较多.

【课堂小结】

通过本节课的学习,你有哪些收获?

【拓展提高】

已知圆O的直径为10cm,弦AB∥CD,且AB=8cm,CD=6cm,求弦AB和CD之间的距离.

三、“垂径定理”教学再设计

(一)创设情境

寻找圆心:有一张圆形纸片,请同学们找圆心,比比谁找得快!

图3

设计意图:让学生准备一张圆形纸片,并由他们折纸找出圆心,安排一个学生到黑板上画出折纸方法的示意图,如图3.

追问得出:这种方法是利用了圆的轴对称性质,那么圆为什么是轴对称图形呢?

安排学生利用图2给出证明,在圆上任意取一点,引直径的垂线交圆于另一点,并证明这两点关于直径所在直线对称.

(二)归纳定理及推论

在学生证明圆是轴对称图形之后,引导学生归纳出垂径定理.

垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧.

教学预设:梳理垂径定理的题设与结论,一条直线若满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦,则可以推出:(3)平分弦;(4)平分弦所对的优弧;(5)平分弦所对的劣弧.

提出问题:平分弦的直径能否垂直于弦,并且平分弦所对的弧?

教学预设:启发学生思考,上述问题的答案是肯定的吗?如果不是,如何修正呢?通过系列追问促进学生思考并得出推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.

(三)例题教学

例1如图4,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E.若CD=8,BE=2,求⊙O的直径.

图4

图5

变式训练:某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图5所示,污水水面宽度为60cm,水面至管道顶的距离为10cm,问:修理人员应准备内径多大的管道?

设计意图:从图4到图5,辅助线添加更多,构图能力更强,然而图4构造的直角三角形会启发学生在图5中也构造出直角三角形来帮助思考.

图6

例2如图6,CD所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具,最少使用几次就可以找到圆形工件的圆心?

设计意图:在学生解出来之后,引导他们思考开课阶段的折纸情境,追问:现在能解释为什么折叠两次后,折痕相交的点就是圆心吗?能给出证明吗?(本质就是与例2的推证理由类似,根据垂径定理的推论来证明)

(四)小结

引导学生从轴对称的角度回顾垂径定理及其推论,并启发学生思考,还可以把垂径定理的基本图形中的题设与结论重组得出一些命题.

(五)作业

求证:圆中平行弦所夹弧相等.

四、教学立意的进一步阐释

1.深刻理解教学内容,加强教学环节的关联呼应

优秀的文学影视作品常常要预设所谓的“前后呼应”艺术,比如文学名著《红楼梦》中开篇提及的很多人物、事件,看似无厘头,然而却若隐若现地出现在后续情节推进之中,甚至成为重要的暗线.受此启发,我们基于对教学内容的深刻理解,将原设计中的情境(两次折纸获得圆心)与后来“再设计”中例2中的追问实现对接、呼应,形式上加强了开课情境与后续例题教学之间的关联,更重要的是对折叠操作的原理进行了证明,使得开课情境更有数学味儿、几何味儿.

2.研习教材并精选例、习题,经营“平滑的转场效果”

由于垂径定理反映了圆的轴对称性质,而且在证明圆是轴对称图形时顺便也就获得了垂径定理,稍稍逆向思考就能得到系列推论,教材上只是给了其中一种,这时我们可以启发优秀学生课外深入构思其他的推论,包括“平行弦所夹弧相等”,这些都可以看成是垂径定理的推论(上个世纪的教材中都将其作为推论进行教学).基于上述认识,如果限于教学时间,或考虑到充分训练垂径定理基本图形的需要,而将垂径定理的推论放到下一课时再学,则会破坏数学知识的整体性,是值得商榷的.所以在“再设计”中我们将推论进行了预设,并精选了一些例、习题进行新知应用,也追求了不同教学环节之间的平滑过渡.当然,我们在“再设计”中还基于“从标准模式到非标准模式”(详见文4)的理念对例、习题的教学加强了变式设计.

1.章建跃.如何实现“思维的教学”——以“平面图形的旋转”的教学为例[J].中学数学教学参考(中),2015(4).

2.张诚,张成品.经营“转场”:让教学环节过渡自然——《中学数学》(下)2015年1~3月读刊随笔[J].中学数学(下),2015(5).

3.刘东升.关联性:一个值得重视的研究领域[J].中学数学(下),2013(12).

4.季卫东.变式取向:从“标准模式”到“非标准模式”——以“轴对称最值问题”解题教学为例[J].中学数学(下),2014(3).Z

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