☉江苏省如皋市经济开发区袁桥初级中学 李建华

基于“超经验”，构建逻辑连贯的几何教学
——以“等腰三角形（第1课时）”教学为例

☉江苏省如皋市经济开发区袁桥初级中学 李建华

《中学数学》（初中版）一年来刊发过多篇等腰三角形（第1课时）的教学设计，老师们的设计多忠实于各自的教材，并在教材的基础上“小修小补”，体现着各自的教材理解、教学理解，笔者受益其中，新的学期，有机会执教该课，决定放弃教材上“折纸操作实验”的引入方式，基于数学前后一致、逻辑连贯，设计了“超经验”的数学情境，也取得了较好的教学效果．本文整理该课的教学设计，并整体阐释教学立意，与同行研讨．

一、“等腰三角形（第1课时）”教学设计

（一）教学目标

（1）从线段的垂直平分线的作图出发，分离出等腰三角形，并探究等腰三角形的性质与证明；

（2）在“等边对等角”证出之后，引导学生“反过来”思考并证明“等角对等边”，渗透数学研究的“基本套路”；

（3）通过相关例题、作业，巩固所学等腰三角形的新知，感受新知在推证问题过程中的简化程度．

（二）重点、难点

重点：等腰三角形的性质与判定的多样化证明与辨析；

难点：善于用“等边对等角”“三线合一”“等角对等边”简化证明表达．

图1

图2

（三）教学流程

【开课引入】

问题：尺规作图，作出线段的垂直平分线．

预设：学生各自作图后，要求他们在垂直平分线上任取两点，得出图1，为进一步分离图形追问性质服务．

追问：在图1中，△ABC、△PBC有何特殊？（等腰三角形，揭示和板书课题、定义）

预设：分离图形，得到图2，复习并明确等腰三角形各边、角的名称（比如顶角、底角、腰、底边）

追问：在小学，同学们就知道等腰三角形有哪些特殊的性质呢？（腰相等、两个底角相等）

师：腰相等由定义可知，但是命题“等腰三角形的两个底角相等”在定义中并没有直接揭示，能否证明呢？同学们独立思考吧！

【新知探究】

1.学生汇报命题“等边对等角”的证明过程

学生独思考之后，分组交流命题证明的不同方法，然后全班汇报．汇报证明时，学生可能会侧重于不同辅助线的作法，教师注意追问文字命题证明的注意事项，即要先画图、写出已知、求证，再证明．多样化证明成功之后，升级为定理并板书：“等腰三角形两底角相等”，简写为“等边对等角”．

2.引导学生“成果扩大”，推证“三线合一”

师：同学们在上面的证明过程中，使用了不同的辅助线，问题求证殊途同归，都证得了“等边对等角”，再想想，如果作出的辅助线是顶角的平分线，能否证明它也是底边上的高或中线呢？（回答是肯定的）那就说明对等腰三角形来说，这三条线段其实怎样呢？（是同一条线段，也就是重合在一起）

板书：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合，简写为“三线合一”．

结合黑板上的图形板书示范上述性质定理的符号语言（限于篇幅，这里从略）．

3.“反过来”思考，探究判定“等角对等边”

师：前面学习角平分线、线段的垂直平分线时，我们探究性质之后，还“反过来”逆向思考了它们的判定，对于等腰三角形的学习，是否也可以“反过来”思考呢？（引导学生猜想命题“等角对等边”）

学生独立证明该命题后，小组内交流，然后全班汇报展示．教师注意通过追问引导学生辨析辅助线有几种，比如可以作高、角平分线，但不能作中线．证明之后板书判定定理“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等”，简写为“等角对等边”，并给出该定理的符号语言（略）．

图3

【例题讲评】

例题：已知：如图3，Rt△ABC中，∠C＝90°．边BC的垂直平分线l交AB于点D．求证：点D也在边AC的垂直平分线上．

意图：关联了前面刚学习的线段的垂直平分线的知识，同时又把直角三角形的一种奇异性质通过这道例题做了展示和揭示，也就是直角三角形三边的中垂线交于斜边的中点处．作为必要的深化，我们还可做如下追问.

追问1：直角三角形三边的垂直平分线是否交于一点？为什么？

追问2：直角三角形斜边上的中线与斜边有怎样的数量关系？

【小结】

问题1：今天学习等腰三角形，与小学相比学到了哪些不同的知识？（引导学生辨析小学时也在应用“等边对等角”，但没有严格证明，而且也没用过“三线合一”等）

问题2：有人学习了“等边对等角”之后，还思考了“大边对大角”，发现也是真命题，你能理解吗？

预设：学生画出符合要求的图形，写出已知、求证、证明.

图4

【作业】

题1：如图4，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD．求△ABC各角的度数．

意图：这是教材例题的改编，训练“等边对等角”、方程意识．

题2：求证：等腰三角形底边的中点到两腰距离相等．

意图：要求学生画出图形，写出已知、求证和证明．

（四）板书设计

二、教学立意的进一步阐释

1.辨析学段特征，预设“超经验”数学情境引入新课

我们知道，中小学图形学习时等腰三角形都是一种重要的轴对称图形，如何辨析学段特征，让八年级学生所学内容与小学有所不同是值得教师认真思考的．笔者认为，当前不少初中教材安排一些剪拼操作类的实验是重复小学阶段的操作过程，到了八年级应该有更具数学味儿、几何味儿的研究方式和视角，事实上，正是基于上述认识，我们放弃了教材上的引入新课的情境安排，而是通过回顾线段垂直平分线的尺规作图引入新课，分离出等腰三角形后，迅速安排学生独立证明命题“等边对等角”．想来，这也是最近张奠宙倡导的“超生活经验”的数学情境吧．

2.加强知识关联，追求前后一致、逻辑连贯的数学教学

等腰三角形被安排在轴对称一章中学习，并不一定时时、事事都要从轴对称出发，将其置于整个平面几何中来思考、定位可能更显数学味道．这也是我们将其与尺规作图、线段的垂直平分线关联在一起的原因，同时在本课的教学中，我们还十分重视文字命题的证明，因为进入八年级，已多次涉及文字命题的证明，文字命题需要经历明确题设与结论的过程，然后才是画图、已知、求证和证明，对学生几何解题、证明能力的提升有着十分重要的作用．作为知识关联和必要的拓展，在小结阶段，我们安排了“大边对大角”，可能有些学困生在较短时间内难以获得证明思路，但是为开阔研究思路，为数学适应性优秀学生的必要拓展，这样的变式思考是十分必要的，证明过程也体现了转化思想、善用新知的意识．

1.周红娟．从操作走向思考，从“参观”走向“探索”——“等腰三角形的性质（第1课时）”教学与反思［J］．中学数学（下），2014（7）．

2.李庾南，陈育彬.中学数学新课程教学设计30例——学力是这样发展的［M］.北京：人民教育出版社，2007.

3.刘东升.辨别学段特征：初中几何教学的用力点——以“圆（第1课时）”教学为例［J］．中学数学教学参考（中），2015（3）.

4.章建跃．构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思考［J］．数学通报，2013（6）．Z