☉江苏省苏州阳山实验初级中学校 孙 凯

经营起点，传递几何研究“基本套路”意识
——以“线段的垂直平分线”教学为例

☉江苏省苏州阳山实验初级中学校 孙 凯

线段的垂直平分线的教学通常被安排在轴对称一章，并且多是学习轴对称图形之后，基于对称轴角度引入概念，并通过度量发现它的性质，再“反过来”思考其判定．笔者经过构思，决定把角平分线的尺规作图作为本课的起点，变式出作平角的角平分线，从而引入新课内容．下面整理该课的教学设计，并附教学设计的立意解读，与同行研讨．

一、“线段的垂直平分线”教学设计

（一）教学目标

（1）从角平分线的尺规作图迁移到线段垂直平分线的学习，感受前后知识之间的关联；

（2）探索线段的垂直平分线的性质与判定方法，积累几何图形研究的套路意识；

（3）善于运用线段垂直平分线的性质推证问题，简化几何语句的组织书写．

（二）重点、难点

重点：线段垂直平分线的性质与判定．

难点：善于运用线段垂直平分线的性质或判定简化几何问题求解．

（三）教学流程

【开课引入】

问题1：尺规作图，作∠AOB的平分线OC．

预设：学生作出图1后，追问作图依据，“为什么OC平分∠AOB？”，引导学生回顾全等三角形的判定方法．

变式：作一个平角的角平分线．

预设：如图2，在直线AB上取一点C，得到平角∠ACB，再作角平分线．

图1

图2

追问1：此时CM与AB有怎样的位置关系？（MC⊥AB）

追问2：有一种基本作图，“过直线上一点作已知直线的垂线”，你会操作吗？（本质上就和作平角的角平分线类似）

【新知探索】

教师示范：尺规作图，作线段的垂直平分线（如图3）．

预设：安排学生模仿操作后，追问学生上述作图的理由是什么.（要求学生标出字母，方便表达操作的理由，主要是从全等的角度说出理由）

定义（板书）：经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）．

性质探究：如图4，直线CD垂直平分线段AB，垂足为M．在直线CD上任取两点P1、P2，度量P1、P2到点A与点B的距离，你有什么发现？

图3

图4

预设：学生会发现点P1（P2）到点A与点B的距离相等，于是可以得出一个猜想（板书）：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．

追问：通过度量、猜想发现到的性质，需要思考如何证明，你们会证明吗？（安排学生用全等方法证明）学生证明之后，在黑板上把“猜想”改写为“性质定理”，并板书符号语言．

逆向思考：在之前学习角平分线的性质之后，我们还“反过来”思考了角平分线的判定．同样，得出线段的垂直平分线的性质定理之后，我们是不是也可“反过来”思考呢？（安排学生独立思考、小组内交流）

猜想发现（板书）：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

预设：安排学生证明垂直平分线的判定，并板书符号语言．

【应用新知】

尺规作图：已知锐角三角形（如图5，△ABC）、直角三角形（如图6，△ABC，∠C=90°）．

图5

图6

（1）在图5、6中，分别作出边AC的垂直平分线，交AB于点D；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，在图5中，连接CD，若BC=3，AB=5，求△BCD的周长；

（3）在（1）的条件下，在图6中，小成同学经过进一步的探究发现：点D也在边BC的垂直平分线上！你觉得小成的发现有道理吗？

意图：（1）主要训练线段垂直平分线的尺规作图；（2）训练线段垂直平分线的性质定理，并利用定理转化问题；（3）既训练线段的垂直平分线的判定，又将问题设计在直角三角形这一载体上，隐含着直角三角形三边的垂直平分线的交点恰在斜边的中点处，同时也为后续学习等腰三角形的性质与判定作铺垫．

【课堂小结】

（1）类比角平分线学习线段的垂直平分线，注意它们的同与不同.

（2）我们知道：点动成线，即线是点动而成的．而前面的学习中，角平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合，那么对于线段的垂直平分线，是不是也可以从点的集合角度来理解呢？（预设学生总结出：线段的垂直平分线可以看成是到线段两端点距离相等的点的集合，并板书“再定义”）

【布置作业】

题1：已知：如图7，∠AOB，点M、N．求作：点P，使点P在∠AOB的平分线上，且PM＝PN．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

题2：如图8，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，猜想AD、EF的关系，并说明理由．

图7

图8

意图：题1主要训练角平分线、线段的垂直平分线的尺规作图；题2主要训练利用线段的垂直平分线的判定方法来简化证明过程．

（四）板书设计

二、教学立意的进一步阐释

1.从角平分线出发，贴近学生“最近发展区”开展教学

我们知道，不少版本的教材在引入线段的垂直平分线时，通常都是从轴对称图形入手，从对称轴的角度发现线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，这样的安排固然有其合理性，然而从几何知识前后一致、逻辑连贯的高观点来看，从角平分线的尺规作图出发似乎更有“几何味道”，既有全等三角形判定的复习，又是从一般的角平分线中特殊化，研究特殊的角——平角的角平分线的作法，而恰恰又得到了“过直线上一点作已知直线的垂线”这一基本作图，为日后学习“过一点作已知直线的垂线”提供了一个知识生长点．这种开课引入的方式，既贴近了学生的“最近发展区”，又反映了数学中“一般与特殊”之间的研究视角．

2.经营教学的关联，向学生传递几何“基本套路”意识

文2中总结了优秀教学设计的一种表征：经营“转场”，让教学环节过渡自然．笔者深受启发，在上面的各个教学环节，努力构思前后教学活动之间的关联，既有知识体系上的前后一致，又有研究方法上的“基本套路”的强化.如例题教学，我们没有安排多道例题进行习题拼凑式的讲评，而是从两种不同形状的三角形出发，安排尺规作图，并在作图的基础上变式生长出一些训练题，既围绕本课的教学重点进行训练，又暗藏着未来要学习的等腰三角形的性质、直角三角形“外心”的性质等内容．

1.马公仕．靠近“最近发展区”，聚焦初中几何特点——以七年级“直线、射线、线段”教学为例［J］．中学数学（下），2015（3）．

2.张诚，张成品．经营“转场”：让教学环节过渡自然——《中学数学》（下）2015年1～3月读刊随笔［J］．中学数学（下），2015（5）.Z