张 莉

(西华师范大学数学与信息学院,四川 南充 637009)



在分组数据情形下对广义指数分布的参数估计

张 莉

(西华师范大学数学与信息学院,四川 南充 637009)

由于种种原因，人们无法随时跟踪所有产品，获悉其精确失效时刻．于是，在预先设定的时刻，对试验产品进行定时观察，就能获得部分产品的失效信息，这样得到的失效数据即分组数据．本文应用TFR模型，讨论了当失效数据为分组数据时，广义指数分布在多步步加试验下的参数估计，并通过数据模拟说明了方法的有效性．

广义指数分布；TFR模型；多步步加试验；分组数据

广义指数分布于1999年被Gupta和Kundu提出[1]，随即被作为Gamma分布、Welbull分布和对数正态分布的替代分布，其各种性质得以广泛研究。如今，广义指数分布在可靠性领域中已经占有一席之地，并被广泛应用于物理学和经济学领域．近几年，常规寿命试验中广义指数分布的点估计方法成为学术界的研究重点。例如，文献[2]利用EM算法对分组和右截尾数据下广义指数分布的参数估计进行了探讨；文献[3]研究了广义指数分布的极大似然估计并得到其渐进分布；文献[4]、[5]采用逆矩法探讨了广义指数分布的未知参数估计，并提出了参数区间估计的构造方法；文献[6]给出了在恒加试验下参数的点估计．然而，基于分组数据的情形应用TFR模型来探讨广义指数分布在步加试验中的参数估计的研究目前还不多见．本文试图讨论应用TFR模型的多步步加试验中不完全样本情况下的参数估计．

1 试验安排

由于种种原因，人们无法随时跟踪所有产品，获悉其精确失效时刻．于是，本文假设对产品的观察为间隔观察，即给定各个应力条件下的观察时刻，进行定时转换试验．

将n个相互独立的元件在t1,0时刻投入到加速应力水平S1下做寿命试验，到t1，m1时刻为止共有R1个失效，同时将应力水平上升到S2，余下的未失效元件在S2下继续做试验，到t2，m2时观测到有R2个失效，并将应力提高到S3，…，这样继续做下去，直到在应力水平Sk下的时刻tk，mk，才停止整个试验，此时有Rk个元件失效．记

t0=t1，0=0，tk=tk，mk，ti=ti，mi=ti+1，0，i=1，2…，k-1.

2 基本假定

假定1 各个应力下的寿命数据服从广义指数分布，其密度函数、分布函数分别为

f(x)=βλ(1-e-λx)β-1e-λx，x≥0

F(x)=(1-e-λx)β，x≥0.

其中，β>0称为模型的形状参数，λ>0称为模型的尺度参数．当形状参数β=1时，模型即为一般的指数分布模型．

假定2 不同应力水平Si，Sj下产品的失效机理与正常应力水平S0下的失效机理相同，反映在分布参数上即形状参数β不随应力水平的变化而变化．

假定3 (TFR模型) 在步加试验中，当应力从Si-1提高到Si，可靠度函数之间存在如下关系：

(1)

其中，可靠度函数的下标对应各个应力水平的下标，t0=0，α-1=α0=1，因子αi>1，i=1，…，k-1，值将由应力Si和Si+1确定，而且有可能与时间变点ti有关．

3 参数的极大似然估计

在做原有参数(α1，α2，…，αk-1，β，λ)的估计时，发现估计误差大，且形式复杂，故做以下替换：

(2)

为求参数的极大似然估计，首先给出其对数似然函数：

为简洁，作以下符号约定：

其次，为得到参数估计，将对数似然函数关于各参数求偏导，并令等于0.

4 数据模拟

例 假定做两步步加试验，样本容量分别为n=50，n=200，n=1000，真值λ=2，β=1，α1=3，t1，1=0.3，t1,2=0.5，t2，1=,0.6，t2，2=0.7．通过蒙特卡罗方法进行数据模拟，得到以下数据(见表1)：

表1 数据模拟结果

观察表格可得如下结论：

(1)在样本容量较小(n=50，n=200)时，参数估计值的相对误差非常大，估计精度差；

(2)在样本容量较大(n=1000)时，参数估计值的相对误差较小，估计精度高．

由此可见，本文讨论的方法更加适用于大样本情况下的参数估计．

综上所述，笔者在前人研究成果的基础上，对广义指数分布的参数估计做了以下创新工作：

第一，本文考虑的失效数据为分组数据．以往学者大多讨论完全样本条件下的参数估计，而本文将重点放在了分组数据来进行研究．第二，本文探讨的是多步步加试验．很多文章对广义指数分布的研究通常停留在常规寿命试验，而极少涉及步加试验．第三，本文应用的折算模型是TFR模型．一旦谈到步加试验，许多研究者考虑的折算模型是Nelson模型而非TFR模型．

当然，除了本文给出的结果，广义指数分布尚有进一步探讨的空间．

[1] GUPTA R．D．,KUNDU D．Generalized Exponengtial Distribution[J]．Australian and New Zealand Journal of statistics,1999,41(2),173-188．

[2] 田玉柱，田茂再，陈平．数据分组和右截尾数据情形下广义指数分布的参数估计及应用[J]．数学进展，2012,6(12):755-762．

[3] 沈作斌．广义指数分布下区间删失数据的参数估计[J]．教育教学，2010,2:20．

[4] 唐玉娜，施瑞，王炳兴．广义指数分布的统计推断[J]．统计与决策，2008,17:18-19．

[5] 唐玉娜 ．广义指数分布基于加速寿命试验数据的统计分析[D]．浙江：浙江工商大学，2008,12:18-31．

[6] 张莉．广义指数分布在恒加试验中的参数估计[J]．内江师范学院学报，2013,12:4-7．

[7] 张莉，郑宇棠．指数分布TFR模型多步步加试验下的参数估计[J]．西华师范大学学报(自然科学版)，2012,33(4):371-373．

[8] 茆诗松，王玲玲．加速寿命试验[M]．北京：科学出版社，2000．

[9] 茆诗松，王玲玲．可靠性统计[M]．上海：华东师范大学出版社，1984．

[10] 戴树森，费鹤良，王玲玲．可靠性试验及其统计分析[M]．北京：国防工业出版社，1983．

The Parameter Estimation of Generalized Exponential Distribution on Grouped Data

ZHANG LI

(The department of math and information, China West Normal University, Nanchong Sichuan, 637009)

Due to various reasons,people cannot keep track of all products and get the exact time of their expiration date.So,at a predetermined time,we can obtain the expiration information of some products by observing products.These expiration data were grouped data.Based on grouped data, this article discussed parameter estimation of generalized exponential distribution by the multi-step-stress accelerated life tests. The analysis of the data was made by the TFR Model. Then, the estimation method was proved rightly by Monte Carlo stimulation.

generalized exponential distribution; TFR Model; the multi-step-stress accelerated life tests; grouped data

1673-5072(2015)01-0041-04

2014-11-16

西华师范大学科研启动基金(08b025)

张莉(1982-)，女，四川自贡人，西华师范大学数学与信息学院讲师，主要从事概率论与数理统计及其应用的研究．

O213

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