苏建勋，李增瑞

(中国传媒大学信息工程学院，北京 100024)

1 引言

自从20世纪60年代频率选择表面(FSS)出现后，很多学者都致力研究FSS在电磁系统中的性能。近年来，超材料(Metamaterial)这类特殊的FSS也引起了人们的关注并得到了较深入的研究［1，2］。FSS在微波系统里有广泛的用途，如反射器、天线罩和极化器。随着超材料概念的出现与发展，频率选择表面作为一种平面的超材料，因具有一些神奇的特性，已被应用到一些新的方面，如平面吸收器［4，5］和人造磁导体［6］。

频率选择结构是一种平面周期结构，对电磁能量起滤波的作用。频率选择表面、电子带隙(EBG)/光子带隙(PBG)结构，超材料等，都可统称为频率选择结构。由于其越来越受到广泛的应用，故而对它的仿真技术也提出了更高的要求。有限元法(FEM)和时域有限差分法(FDTD)［7］能对周期结构进行三维(3D)建模，并且可以处理非均匀介质的情形。但计算散射场时［8］需要利用吸收边界(ABC)或完全匹配层(PML)等特殊的手段来截断无限大求解区域。

一般地，频率选择结构电磁特性满足工程指标，一是要进行贴片形状的设计，二是利用介质层复合。以往，设计工作主要集中在第一点上，而近些年来，大力开拓了介质层的复合设计。在FSS里引入周期性的非均匀介质材料，可以研究介质层复合特性的设计。例如，在介质板上钻孔［9］或者填充其他材料，改变介质基板的有效介常数或磁导率［10］。但是对于非均匀的介质层设计，无法提取分层媒质格林函数，从而很难单纯利用表面积分方程(SIE)进行建模分析。基于此，采用体面积分方程(VSIE)可以克服这些困难［11］。

本文提出了一种空域体面积分方程法用于分析频率选择结构(FSS)。其中利用Ewald变换加速周期格林函数的收敛［12，13］，利用体面积分方程分析任意复杂频率选择结构，包括非均匀的介质结构或金属介质复合结构。另外，设计了一种简单有效的插值方法，能快速准确地对周期格林函数插值。

2 积分方程

2.1 体面积分方程

在所有的金属面S(S是闭合体或开放体)，边界条件要求总电场的切向分量为零，即:

上述为电场积分方程(EFIE)。在介质区域，总电场是入射场和散射场之和。因此，体积分方程如下:

方程(6a)和(6b)结合(1)—(5)，便可构建体面积分方程，其中金属面的电流为，介质区域的电通量为。混合积分方程(6)可以用伽略金矩量法精确地求解。

2.2 PGF的线性插值技术

本文的插值问题由2D变为3D，增加了一个维度，二次插值法计算效率下降。由于自由空间周期格林函数比较平滑，故而易于精确插值，因此设计了一种针对自由空间周期格林函数的精确快速插值方法。

将矩形3D框格等分为很多子格。图1是一个边长为的子格(方块)。黄点是子格顶点处预先计算后存储的PGF数值。周期格林函数可通过如下的线性插值法获得

图1 子格

其中 αx=dx/L，αy=dy/L，αz=dz/L。子框格的边长范围一般为0.015－0.03λ，插值可以获得高的精度(ε ＞10－3)。

3 数值实例

3.1 耶路撒冷十字架

首先分析一个典型的耶路撒冷十字状的频率选择结构。像素化的单元结构如图2所示。介质板的厚度为0.02cm，相对介电常数2－j0.1。FSS的周期为a=b=2.5cm。平面波垂直入射，电场沿X方向。图3是Floquet TEM模的传输和反射系数。双Ewald序列的求和项设为9。红实线是本文方法的计算结果，黑实线是文献［15］谱域法的计算结果。由图可见，两种方法的传输和反射系数计算结果吻合良好。

图2 耶路撒冷十字FSS的单元结构图(单元尺寸是2.5cm ×2.5cm)

图3 耶路撒冷十字FSS的反射和传输系数

3.2 光子带隙结构

现在考虑一个介质材料频率选择结构，介质为非均匀的［10］。介质板嵌入周期性的介质块，如图4所示。这些栅格通常被称为光子带隙结构。图5为平面波垂直照射介质板时的反射系数。反射系数曲线展示了光子带隙材料的典型谐振特性。跟文献［13］的有限元－边界元法(FE－BI)和体积分法(VIE)的计算结果比较，本文方法计算结果的两个谐振与FE－BI吻合的良好，而VIE计算结果的两个谐振频率偏高，尤其第二个谐振频率。

3.3 基于超材料的双带通FSS

最后考虑一个基于超材料的小型化双带通FSS［16］。其中FSS为介质板两面印刷金属层的结构，介质材料为 Arlon Di－ Clad 880(εr=2.2，tanδ=9E－4)。图6为该FSS的两个单元结构图。由图看出，反面金属层相对于正面金属层平移了半个周期。图7为平面波垂直入射时的仿真结果。由图7可见，本文计算结果与文献［16］中HFSS和ADS的仿真结果吻合良好。

图4 电子带隙结构

图5 TEMx模的反射系数幅度

图6 基于超材料的双带通FSS的两个周期单元

图7 双带通FSS的反射系数

4 结语

本文提出了一种空域体面积分方程(VSIE)分析具有均匀或非均匀介质层的频率选择结构。其中利用Ewald变换和插值技术快速计算空域周期格林函数。仿真结果表明，在大多数情况下，两重Ewald求和序列9项就能收敛。另外，设计了一种线性插值算法，能够快速精确地对周期格林函数进行插值，从而大大减少矩阵填充时间。数值实例结果证明了本方法的正确性和有效性。本文方法经进一步扩展，如利用体面积分方程结合自适应交叉逼近法(ACA)［17］，可更加快速和精确地分析任意复杂结构的频率选择结构。

［1］T K Wu，Ed.Frequency Selective Surface and Grid Array［J］.New York，Wiley，1995.

［2］B A Munk.Frequency Selective Surfaces Theory and Design［J］.New York，Wiley，2000.

［3］N Engheta，R W Ziolkowski，Eds.Metamaterials Physics and Engineering Explorations Hoboken［J］.NJ，Wiley，2006.

［4］N Engheta.Thin absorbing screens using metamaterial surfaces［J］.Proc IEEE Antennas and Propagation Society Int Symp，San Antonio，TX，2002:392－395.

［5］G Kiani，K Ford，K Esselle，A Weily，C Panagamuwa.Oblique incidence performance of a novel fre-quency selective surface absorber［J］.IEEE Trans Antennas Propag，2007，55(10):2931 －2934.

［6］D Kern，D Werner，A Monorchio，L Lanuzza，M Wilhelm.The design synthesis of multiband artificial magnetic conductors using high impedance frequency selective surfaces［J］.IEEE Trans Antennas Propag，2005，53(1):8 －17.

［7］W Ko，R Mittra.Implementation of Floquet boundary condition in FDTD for FSS analysis［J］.In Antennas and Propagation Society Int Symp Digest，Jun，1993:14 －17.

［8］I Bardi，R Remski，D Perry，Z Cendes.Plane wave scattering from frequency－selective surfaces by the finite － element method［J］.IEEE Trans Magn，2002，38(2):641 －644.

［9］A Fallahi，M Mishrikey，C Hafner，R Vahldieck.A-nalysis of multilayer frequency selective surfaces on periodic and anisotropic substrates［J］.Metamaterials，2009.

［10］H － Y D Yang，R Diaz，N G Alexopoulos.Reflection and transmission of waves from multilayer structures with planar implanted periodic material blocks［J］.Opt Soc Amer，Ser B，Oct，1997，14(10):2513－2521.

［11］Lu，C C，Chew W C.A coupled surface － volume integral equation approach for the calculation of electromagnetic scattering from composite metallic and material targets［J］.IEEE Trans.Antennas Propag，Dec，2000，48(12):1866 －1868.

［12］Stevanovic I，Crespo － Valero P，Blagovic K，Bongard F，Mosig J R.Integral－Equation Analysis of 3－D Metallic Objects Arranged in 2－D Lattices Using the Ewald Transformation［J］.IEEE Trans Antennas Propag，Oct，2006，54(10):3688 －3697.

［13］T F Eibert，J L Volakis，D R Wilton，D R Jackson.Hybrid FE/BI modeling of 3 － D doubly periodic structures utilizing triangular prismatic elements and an MPIE formulation accelerated by the Ewald transformation［J］.IEEE Trans Antennas Propag，May，1999，(5):843 －850.

［14］F W J Olver，D W Lozier，R F Boisvert，C W Clark.NIST Handbook of Mathematical Functions［M］.New York:Cambridge University Press，2010.

［15］Ling Li，Werner D H，Bossard J A，Mayer T S.A model－based parameter estimation technique for wide－band interpolation of periodic moment method impedance matrices with application to genetic algorithm optimization of frequency selective surfaces［J］.IEEE Trans Antennas Propag，Mar，2006，54(3):908 －924.

［16］Bayatpur F，Sarabandi K.Multipole Spatial Filters Using Metamaterial－Based Miniaturized－Element Frequency － Selective Surfaces［J］.IEEE Trans Microw Theory Tech，Dec，2008，MTT －56(12):2742－2747.

［17］K Zhao，M N Vouvakis，J F Lee.The adaptive cross approximation algorithm foraccelerated method of moments computations of EMC problems［J］.IEEE Trans EMC，2005，47(4):763 －773.