唐启祥，胡家光，邱学云

(文山学院 信息科学学院，云南 文山 663000)



一维层状二组元声子晶体的带隙研究

唐启祥，胡家光，邱学云

(文山学院 信息科学学院，云南 文山 663000)

摘要：运用传输矩阵法数值计算了弹性波分别通过不同晶格常数、不同组元厚度比和不同复合周期数的一维层状二组元声子晶体的透射率，确定了带隙的起止频率和宽度。结果显示，晶格常数增大，起止频率和带隙宽度均变小；厚度比增加，起始频率几乎不变，而截止频率和带隙宽度几乎成线性增加；周期数增加，起止频率和带隙宽度均几乎不变。

关键词：二组元；声子晶体；传输矩阵；透射率；带隙

声子晶体是由弹性复合介质构成的周期性结构[1-2]，当弹性波在其中传播时，受其内部周期结构的调制作用，形成特殊的色散关系即能带结构。色散关系曲线之间弹性波被抑制范围称为禁带或带隙。带隙的下限频率为起始频率，上限频率为截止频率，二者之差为禁带宽度。禁带之间为导带。处于导带频率范围内的弹性波在色散关系的作用下将无耗散地传播[3]。

按照复合介质的空间分布特点，声子晶体可以分成一维、二维和三维声子晶体。在一维声子晶体中，按照介质组元的多少，又可将其分为二组元结构、三组元结构等。一维声子晶体因带隙容易控制且制作较为简单而备受关注。文献中只考虑相同厚度或递变式厚度的一维二组元声子晶体的带隙特性[4-5]。本文将以弹性波通过声子晶体的透射率作为传输特性来反映带隙的变化规律，研究不同晶格常数、厚度比及复合周期数对带隙变化的影响规律。

1模型和计算方法

一维层状二组元声子晶体的结构如图1所示，由A和B两层无限大的不同均匀弹性介质材料复合构成,A和B的厚度分别为d1和d2，构成声子晶体的一个原胞，其晶格常数a=d1+d2。令T=d1/d2为A和B两种介质的厚度比，便于后面的研究和讨论。整个结构由N个原胞组成，两端置于各向同性的材料C中。

图1一维二组元声子晶体的结构模型

为了研究此类声子晶体的传输特性，采用传输矩阵法进行计算[6]。可以同时研究平面纵波和平面横波垂直入射时的透射率。研究垂直入射，不存在横波与纵波的相互转型问题。取垂直于介质A向右为z轴正方向，向上x为轴正方向，将平面波的传播简化成在xoz平面内的传播。由位移和应力的x分量和z分量在介质A和介质B的界面两侧连续的边界条件，可得到从介质A到介质B的界面上的传递矩阵为

(1)

式中，MA为介质A的系数矩阵，MB为介质B的系数矩阵。以MA为例，具体为

(2)

式中kAL=ω/cAL,kAL=ω/cAT，分别为纵波和横波在介质A中的波矢，cAL和cAT分别为纵波和横波在介质A中的波速，ω为圆频率，λ及μ为拉梅常数。将MA中的A换成B或C即得MB和MC。

弹性波通过厚度为d1的介质A时的传递矩阵为

(3)

将厚度换成d2，波矢换成介质B中的波矢，即可得通过介质B的传递矩阵GB。弹性波通过整个声子晶体的传递矩阵为

W=MCAGAMABGBMBA…MBC

(4)

由W中的矩阵元可得纵波透射率tL和横波的透射率tT为

(5)

2算例分析

选取A层介质材料为钢，B层介质材料为环氧树脂构成一维周期结构声子晶体，整个结构置于有机玻璃介质C中，以不同频率的弹性波垂直入射计算它们的透射率。透射率等于零的地方为禁带，不等于零的地方为导带，由此确定禁带的起止频率和宽度。有关材料参数见表1所示。

首先，选取晶格常数a为0.03 m、厚度比T为1，周期数N等于10的晶格，计算它的透射率，结果如图2所示。纵坐标为弹性波的透射率，图2(a)和图2(b)为纵波和横波两种情况，横坐标为入射波的频率f，相邻透射率谱线之间的空白区域为带隙，构成声子晶体的透射率谱图。

表1　材料参数

从图2中可以看出，纵波的带隙较宽，排列较疏，横波的带隙较窄，排列较密。分别对纵波和横波的带隙变化规律的进一步研究，发现它们具有相似的规律，在此仅选择对纵波研究的结果进行说明，不影响结论对横波的正确性。

(a)纵波透射率谱图 (b)横波透射率谱图

图2简单晶格透射率谱图

从透射率的表达式可看出，它含有多个参数，我们选取其中的晶格常数、厚度比及周期数作为变量，分别计算纵波的透射率，寻找各个参数对传输性能的影响，转化为对带隙的起止频率和带隙宽度的影响。通过对多个带隙的计算，发现都有相似的规律，这里仅列出对第一带隙的计算结果。

2.1晶格常数对带隙的影响

选取厚度比T为1，周期数N等于10，改变晶格常数a，计算纵波在一维二组元声子晶体中的透射率，从而算出第一带隙的起止频率和带隙宽度，结果如图3所示。在晶格常数a小于0.03 m之前，带隙的起止频率和禁带宽度均随晶格常数增加迅速减小；当a大于0.03 m后，带隙的起止频率和带隙宽度的减小较为缓慢。

图3　带隙与晶格常数的关系

2.2厚度比对带隙的影响

考虑到上述特点，选取较小的晶格常数a为0.03 m，周期数N等于10，改变厚度比T，计算弹性波在一维二组元声子晶体中的透射率，进一步确定第一带隙的起止频率和带隙宽度。结果如图4所示，当厚度比T大于0.2之后，带隙的起始频率趋于稳定，大约维持在20.5 kHz左右，而截止频率则几乎随厚度比线性增加，导致带隙宽度也几乎随厚度比T线性增加。厚度比T每增加0.1，带隙宽度约增加3.878 kHz。

图4　带隙与厚度比的关系

2.3周期数对带隙的影响

选取晶格常数a为0.03 m，厚度比T等于1，改变复合周期数N计算弹性波在一维二组元声子晶体中的透射率，确定第一带隙的起止频率和带隙宽度，结果如图5所示。

图5 带隙与周期数的关系

在周期数N小于4之前，起始频率较高些，截止频率较低些，带隙宽度随着周期数的增加而增加；但当周期数大于4之后，带隙的起止频率分别保持在20.36 kHz和82.26 kHz左右，带隙宽度几乎保持不变，约为61.90 kHz。

3结论

通过改变一维层状二组元声子晶体的晶格常数和二组元的厚度比，声子晶体的透射性能均会发生变化，带隙的起止频率和宽度发生改变。在晶格常数a小于0.03 m之前，带隙的起止频率和禁带宽度均随晶格常数增加迅速减小；当a大于0.03m后，带隙的起止频率和带隙宽度的减小较为缓慢。当厚度比大于0.2之后，带隙的起始频率趋于稳定，大约维持在20.5kHz左右，而截止频率则几乎随厚度比线性增加，导致带隙宽度也几乎随厚度比线性增加。厚度比每增加0.1，带隙宽度约增加3.878kHz。周期数的改变对声子晶体透射性能的影响较小。在周期数小于4之前，起始频率较高些，截止频率较低些，带隙宽度随着周期数的增加而增加；但当周期数大于4之后，带隙的起止频率分别保持在20.36kHz和82.26kHz左右，带隙宽度保持几乎不变，约为61.90kHz。

参考文献:

[1]S.John.Stronglocalizationofphotonincertaindisordereddielectricsuperlattices[J].Phys.Rev.Lett., 1987(23):2486-2489.

[2]M.M.Sigalas,E.N.Economou.Elasticandacousticwavebandstructure[J].SoundVib.,1992(2):377-382.

[3] 温熙森,温激鸿,郁殿龙,等.声子晶体[M].北京:国防工业出版社,2009:53-101.

[4] 刘启能.一维声子晶体的传输特性[J].人工晶体学报, 2008,37(1):179-182.

[5] 曹永军,董纯红,周培勤.一维准周期结构声子晶体透射性质的研究[J].物理学报，2006,55(12):6470-6475.

[6] 刘启能.弹性波斜入射声子晶体的传输特性[J].应用力学学报，2009,26(2):397-400.

Study on Transmission Characteristics of 1D Layered Binary Phononic Crystals

TANG Qi-xiang, HU Jia-guang, QIU Xue-yun

(School of Information Science, Wenshan University, Wenshan 663000, China)

Abstract:Using the transfer matrix method, the transmission coefficients of elastic waves transmitting through the one-dimensional layered binary phononic crystal have been numerically calculated for different lattice and thickness ratio of component and number of recombination periods. Furthermore, the start frequencies and cutoff frequencies and band gap width are calculated. The results show that both the starting frequencies and the cutoff frequencies and the band gap width decrease with the lattice constant increasing. With the thickness ratio increasing, the starting frequencies are almost invariant, but the cutoff frequencies and the band gap width increase. However, the starting frequencies and the cutoff frequencies and the band gap width are almost invariant with the number of recombination periods increasing.

Key words:binary, phononic crystals, transfer matrix, transmission coefficient, band gap

文章编号：1007-4260(2015)03-0057-03

中图分类号：O471.1

文献标识码：A

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.03.016

作者简介：唐启祥，男，云南东川人，硕士，文山学院信息科学学院副教授，研究方向为材料物理。

基金项目：云南省教育厅科学研究基金项目(2014Y474)和云南省科技计划青年项目(2014FD055)。

收稿日期：2014-12-02

网络出版时间：2015-8-25 15:40网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20150825.1540.016.html