李　琳，杨海洋，田　垒

(安庆师范学院 数学与计算科学学院, 安徽 安庆 246133)



一类具分布时滞的分数阶神经网络的一致稳定性

李琳，杨海洋，田垒

(安庆师范学院 数学与计算科学学院, 安徽 安庆 246133)

摘要：本文讨论了一类具分布时滞的分数阶神经网络系统的一致稳定性问题，主要应用分数微积分理论与Banach不动点定理得到了该系统解的存在唯一性条件和一致稳定性结果。

关键词：Caputo分数阶导数；神经网络系统；分布时滞；解的存在唯一性；一致稳定性

分数微积分是整数微积分的推广，分数阶微分算子具有记忆和非局部特性，在应用方面比整数微积分更适合描述现实生活中的基本现象[1-10]。时滞现象存在于生物、化学、工程、物理、医药等领域，其产生的原因主要有两方面：一是系统本身固有的滞后现象，二是构成实际系统的装置所引起的滞后现象。因而，在对时滞的研究过程中可以根据时滞的表象形式把系统分为离散时滞系统和分布时滞系统。稳定性是控制系统中最基本的和令人感兴趣的问题之一，含时滞的分数阶系统的稳定性已取得了一些重要成果[7-12]，但对于含分布时滞的分数阶系统稳定性的研究还相对较少。

本文主要通过Banach不动点定理获得了一类具分布时滞的Caputo分数阶神经网络系统

(1)

下面给出相关概念和重要引理。

定义1[1]函数x(t)的q阶分数积分定义：

(2)

(3)

其中n-1≤q≤n∈N+。

(4)

其中n-1≤q≤n∈N+。

定义4[14]若对∀>0,t0≥0，存在δ(,t0)使得t>t0≥0，‖φ(t)-ψ(t)‖<δ(,t0)，即对任意两个解x(t,t0,φ)和x*(t,t0,ψ)有

‖x*(t,t0,ψ)-x(t,t0,φ)‖<

引理1[1]若f(t)∈Cn-1[t0,t],n-1

特别地，当0

本文获得主要结果如下。

定理1若满足条件S∶fj(j=1,2,…,n)是Lipschitz连续的，即

|fj(x)-fj(x*)|≤Lj|x-x*|

(5)

其中Lj是Lipschitz的条件，则系统(1)在[0,J]上存在唯一连续解x(t)。

证明系统(1)和以下方程是等价的：

ui(θ)]dθ,t∈[0,J]

构造一个映射Ti,定义如下:

其中Tx=(T1x1,T2x2,…,Tnxn)T。对任意两个不同的x(t),x*(t)∈C([0,J],Rn)，有

从而有|Tx(t)-Tx*(t)|=

其中P是一个足够大的常数，且可使

‖A‖+(‖B‖+τ‖C‖)L

则‖Tx(t)-Tx*(t)‖<‖x(t)-x*(t)‖，即T是一个压缩映射，由Banach不动点定理知它有一个固定点x=Tx,使系统(1)存在一个唯一解。

在定理1的基础上，得出定理2的结论。

定理2若系统(1)满足条件S，则它的解是一致稳定的。

证明设x(t)是系统(1)的解，则

令x*(t)是系统(1)的另一解，则

|x(t)-x*(t)|≤|φi(0)-ψi(0)|+

从而e-Pt|x(t)-x*(t)|≤e-Pt|φi(0)-ψi(0)|+

即

因P是一个足够大的常数，故可选择一个P使‖A‖+(‖B‖+τ‖C‖)L

即对∀ε>0，有δ(ε)=((Pq-‖A‖-

(‖B‖+τ‖C‖)L)/Pq)ε>0，

则根据定义4知，系统(1)的解是一致稳定的。

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Uniform Stability of a Class of Fractional-Order Neural Networks with Distributed Delays

LI Lin，YANG Hai-yang，TIAN Lei

(School of Mathematics and Computation Science, Anqing Normal University, Anqing 246133,China)

Abstract:This paper mainly discusses uniform stability problems of a class of fractional-order neural networks with distributed delays. We obtain existence and uniqueness conditions of solutions and uniform stability results for this system by applying fractional calculus theory and Banach fixed point theorem.

Key words:Caputo fractional-order derivative, neural network systems, distributed delays, existence and uniqueness of solutions, uniform stability

文章编号：1007-4260(2015)03-0022-04

中图分类号：O175.13

文献标识码：A

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.03.007

作者简介：李琳，女，安徽阜南人，安庆师范学院数学与计算科学学院硕士研究生，研究方向为分数阶微分方程。

基金项目：安徽省高等学校省级自然科学研究基金项目(KJ2011A197，KJ2013Z186)。

收稿日期：2014-05-20

网络出版时间：2015-8-25 15:40网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20150825.1540.007.html