王承宣

2014年高考渐渐远去，仔细翻阅试卷，发现2014年全国新课标试卷有关取值范围的试题几乎是以点的特征确定范围，可谓特色明显.类型如下，供教学参考.

1以极值点定范围

此类试题是赋予极值点以一定的条件，通过对条件的数学表达而求得某字母的取值范围.

例1（新课标Ⅱ理科）设函数f（x）=3sinπxm.若存在f（x）的极值点x0满足x20+[f（x0）]2

A.（-∞，-6）∪（6，+∞）

B.（-∞，-4）∪（4，+∞）

C.（-∞，-2）∪（2，+∞）

D.（-∞，-1）∪（1，+∞）

图1分析如图1，f（x）的周期为2m，试题提供的式子x20+f（x0）2的几何模型可以是图1中Rt△OAB（也可以在紧挨原点的其它象限）斜边的平方，图中清晰知道：OB=m24+3，OA=m2符合题意，故不等式可翻译成m24+32，故选C.

抓住具有普遍性的图像模型快速实施突破是此类试题的特点.

2以零点定范围

此类试题将函数的零点与函数的单调性相联，再结合函数极值的情况控制零点个数，从而确定某字母的取值范围.

例2（新课标Ⅰ理科）已知函数f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是（）.

A.（2，+∞）B.（-∞，-2）

C.（1，+∞）D.（-∞，-1）

分析f′（x）=3ax2-6x=3ax（x-2a），选原点作为参照点讨论如下.①当2a<0时，有a<0.若x∈（-∞，2a），则f′（x）<0；若x∈（2a，0），则f′（x）>0；若x∈（0，+∞），则f′（x）<0.从而f（x）在（-∞，2a）上单调递减，在（2a，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，并且在x=2a取极小值，在x=0处取极大值，如图2，若要存在唯一零点x0且x0>0，则必须f（2a）=-4a2+1>0，注意到a<0，解得a<-2.作为单选选择题，此时已知答案为B.（-∞，-2），但作为对试题的深赜索隐，继续分析如下.

图2图3②当2a>0时，有a>0.若x∈（-∞，0），则f′（x）>0；若x∈（0，2a），则f′（x）<0；若x∈（2a，+∞），则f′（x）>0；根据单调性和极值，示意图3的曲线（1）和曲线（2）均不能满足：唯一零点x0且x0>0的条件.结合图像得启示：变换有关零点的限制条件可以求取a的不同取值范围.

以区间端点的变点与区间端点的定点进行比较，找到讨论的突破点是解答……