聂文艳，王仲根，盛　涛(．淮南师范学院电气信息工程学院，安徽淮南　2200;2．安徽理工大学电气与信息工程学院，安徽淮南　2200; ．安徽大学计算智能与信号处理教育部重点实验室，安徽合肥　2009)



应用FDM与AWE技术快速求解导体目标宽带RCS

聂文艳1，王仲根2，3，盛涛3
(1．淮南师范学院电气信息工程学院，安徽淮南232001;2．安徽理工大学电气与信息工程学院，安徽淮南232001; 3．安徽大学计算智能与信号处理教育部重点实验室，安徽合肥230039)

摘要:渐近波形估计(AWE)技术是分析目标宽带有效数值方法之一，但该方法需要多次存储高阶频率导数阻抗矩阵，内存消耗大．本文将快速偶极子法与AWE技术相结合，只需存储近区场阻抗矩阵及其高阶频率导数阻抗矩阵，并且大大加速了在迭代求解过程中的矩阵矢量乘积运算．与传统AWE技术相比，计算时间和内存消耗都得到了有效缩减，数值结果证明了本方法的有效性和精确性．

关键词:矩量法;快速偶极子法;渐近波形估计;宽带雷达散射截面

引用格式:聂文艳，王仲根，盛涛，等．应用FDM与AWE技术快速求解导体目标宽带RCS［J］．安徽师范大学学报:自然科学版，2015，38(2) :144 －148．

引言

矩量法［1］(MoM)是求解频域积分方程的一种有效数值计算方法，但采用MoM分析目标宽带电磁散射特性时，需要对每一个频率点重复计算，消耗大量的内存以及时间，尤其是待分析目标是电大尺寸时，普通微型机很难实现．为了解决这个问题，近几年，学者们提出了一些有效的方法，文献［2，3］提出模型参数估计技术(MBPE)，通过利用已知的参数数据来构造在整个频段上的电磁特性;文献［4，5］提出了一种渐近波形估计(AWE)技术，AWE技术是一种将Taylor级数展开和基于有理分式的pade逼近方法综合地应用于矩量法方程外推的求解技术，即由某特定条件下方程的解和相关系数，进而推出其它条件下的解，在求解电小尺寸目标宽带RCS时取得了较好的效果，以及基于这两种方法的混合方法［6－9］．MBPE易于与MoM结合，代码编写简单，但是需要存储插值频率点处的阻抗矩阵．AWE技术与MBPE相比，需要的插值点更少，并且在整个求解过程中，只需求逆一次，具有更高的计算效率．但AWE技术，求逆需要耗费大量的时间，另外AWE技术在求解中，需要多次存储高阶频率导数的阻抗矩阵，对计算机内存要求较高，这也限制了其发展．为了解决这个问题，本文将快速偶极子法［10－12］(FDM)与AWE技术相结合，该方法只需要存储近区场阻抗矩阵以及近区场的高阶导数阻抗矩阵，远区场阻抗矩阵以及高阶频率导数阻抗不需要存储，即用即算，大大降低了内存需求，并且FDM将矩阵矢量乘积运算分成了聚集－转移－发散三个部分，大大加快了在迭代求解过程中的矩阵矢量乘积运算速度．

1　理论分析

1．1渐近波形估计技术

应用矩量法分析导体目标电磁散射特性时需对目标离散化，将电场积分方程离散成如下方程:

式中，Z(k)为阻抗矩阵，I(k)为待求的电流向量，V(k)为激励向量，k =ω 槡μ0ε0为自由空间波数，ω为角频率，μ0为真空磁导率，ε0为真空介电常数．通过求解式(1)可得到待求频率点的目标表面电流，从而求出该频率点的RCS，为了得到目标在整个宽频带的RCS，需对每个频率点重新计算，计算量非常大．文献［4，5］提出了一种快速求解目标宽带RCS的有效方法-AWE技术，该方法将I(k)在给定频率点k0处用泰勒级数展开，如下式所示:

式(2)中展开系数mq的计算式为:

m0= Z－1(k0) V(k0) (3)

式中V(q)(k0)表示波数在k0时V(k)的q阶导数，Z(i)(k0)亦同．式(3)、(4)可通过迭代法求解，但在迭代法求解过程中存在大量的矩阵矢量乘积运算，将消耗大量时间．

泰勒级数的局限性使式(2)的近似效果并不好，可通过Padé逼近将I(k)展开成有理分式，即

L对于给定的L + M，当L = M或L = M + 1时，式(5)逼近式(2)的效果最佳．本文取L = 4，M = 3．ai与bj的求解可参考文献［5］，求出系数ai与bj后，将它们代入式(5)即可计算出目标在任意频点的表面电流，从而可以求出目标在整个频带内的宽带RCS．整个过程中只需要一次求逆，大大提高了计算效率．但AWE技术也存在着不足，需要多次存储高阶频率导数阻抗矩阵，当未知数较大时，内存需求大，一般的微型机难以实现，而且传统的求逆也需要花费较多的时间．

1．2快速偶极子法

FDM［10－12］与快速多极子法(FMM)［13］相似，将等效后的偶极子模型(当场点与源点的距离大于0．15λ时，每个三角单元对可等效为一个电偶极子)按照其中心位置分配到不同的组中，按照组与组之间的距离，将其分为近场组和远场组，本文取d(i，j) = Rij/a，Rij为组i和组j之间的距离，a为组的边长，当d(i，j)≥2时我们就把这两个组看成远组．式(1)中Z，I可写成:

式中

rji|，rni= | rni|，rmj= | rmj|，roi和roj分别为组i和组j的中心位置矢量，rm= (rcm－+ rcm+) /2和rn= (rcn－+ rcn+) /2分别表示第m、n个偶极子的中心位置矢量，C =［1 + 1/(jkrji)］/r2ji，η为波阻抗．将式(7)代入到式(6)，式(6)可以写成:

从式(11)可以看出远场组的矩阵矢量积被分成三个部分: (1)发散函数Mm(rji) ; (2)转移函数聚集函数

．这3个函数不包含格林函数因子以及复杂的球面积分，因此可以大大加快计算速度，同时远组之间的互阻抗元素不需要存贮，即用即算，内存需求也得到降低．并且

可以被组j的每个偶极子重复运用，计算量由原来的O(NiNj)降为O(Ni+ Nj) (Ni、Nj为组i、j的等效偶极子个数)，加速效果是显著的．

1．3快速偶极子法加速计算

AWE技术和传统MoM相比较，计算效率显著提高，但存在迭代求解时间较长以及存储多个高阶频率阻抗矩阵的不足．FDM具有加速矩阵矢量积运算以及减少内存消耗的优点，本文将FDM和AWE技术结合，加速求解矩阵方程，减少内存消耗．由式(6)可知，阻抗矩阵Zmn及其导数矩阵的矩阵矢量积可以写成:

式中，q为导数的阶数．近场组的阻抗矩阵元素及近场组高阶导数阻抗矩阵元素采用传统MoM来计算，计算公式如下:

式中

其中

2　数值结果分析

为了验证本文方法的有效性与精确性，分别对一个导体圆柱、导体锥台以及一个导体锥的宽带RCS做了计算．本文计算都在Inter(R) Core(TM) i3－2120 3．29GHz，4．0GB RAM的PC上完成，编译器采用GNU g + + 4．7．2，所有算例均采用双精度浮点计算，矩阵方程采用GMRES迭代法求解，收敛精度为0．002．

算例1:计算了一个高为2cm，半径为0．5cm的导体圆柱的宽带RCS，用三角单元剖分导体表面，共有2746个三角单元，4146个未知变量数，未知量被分成104个非空组．平面波沿θi= 90°，φi= 0°入射，频率范围为5－35GHz，分别采用AWE和AWE-FDM计算，两种方法插值频率点都选择15GHz和30GHz，两种方法计算结果如图1所示．从图1可以看出，AWE-FDM计算得到的结果与传统AWE吻合较好．

算例2:计算了一个理想导体锥台的宽带RCS，锥台上表面边长为2cm，下表面边长为3cm，高是3cm．利用三角单元剖分导体表面，共有4148个三角单元，6276个未知变量数，将其分为277个非空组．平面波沿θi= 90°，φi= 0°入射，频率范围为5－20GHz．分别采用AWE和AWE-FDM计算，两种方法插值频率点都选择8GHz和15GHz，计算结果如图2所示．从图2可以看出，AWE-FDM具有较高的计算精度．

算例3:为了验证本文方法的有效性，计算了一个电大尺寸圆锥体在5－25GHz的宽带RCS，椎体底面半径为2cm，高为5cm，利用三角单元剖分目标表面，共有7224个三角单元，11186个未知变量数，将其分为352个非空组，平面波沿θi= 0°，φi= 0°入射．此时，若采用传统AWE方法计算，需要消耗内存大约7700MB，普通微型机已经很难实现，而AWE－FDM只需存储近场组的阻抗矩阵及近场组高阶导数阻抗矩阵，内存需求远远低于传统AWE方法，普通微型机即可实现．分别采用商业软件FEKO和AWE-FDM计算，AWE-FDM插值频率点选择10GHz和20GHz，计算结果如图3所示．从图3可以看出，AWE-FDM计算结果与商业软件吻合较好，具有较高的计算精度．

三个算例所消耗的CPU时间、内存以及误差比较如表1所示，从表1可以看出AWE－FDM在保证高精度的前提下，计算时间可缩减至传统AWE方法的55%以下，内存消耗降至传统AWE方法的35%以下，有效地提高了计算效率、降低了内存需求．

表1　CPU时间、内存与误差比较

3　结束语

本文提出了应用FDM结合AWE技术快速求解导体目标宽带RCS．对于近场组阻抗矩阵以及近场组的高阶导数阻抗矩阵采用传统MoM方法计算以及存储，远场组阻抗矩阵以及高阶频率导数阻抗矩阵采用FDM计算，不需要存储，即用即算，大大提高了计算效率、降低了内存需求．数值计算结果证明了本文方法的有效性和精确性．本文方法为计算电大尺寸目标宽带RCS提供了一种新的方法，具有重要的应用价值．

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Fast Computation of Wide-Band RCS of PEC Objects Using Fast Dipole Method and Asymptotic Waveform Evaluation Technique

NIE Wen-yan1，WANG Zhong-ge2，3，SHENG Tao3
(1．School of Electrical and Information Engineering，Huainan Normal University，Huainan 232001，China; 2．School of Electrical and Information Engineering，Anhui University of Science and Technology，Huainan 232001，China;3．Key Laboratory of Intelligent Computing and Signal Processing，Ministry of Education，Anhui University，Hefei 230039，China)

Abstract:Asymptotic waveform evaluation (AWE) technique is one of the efficient numerical approaches for calculating the wide-band radar cross section (RCS) of the object，but it causes a big consumption of storing frequency derivative impedance matrices．A new efficient numerical approach is proposed based on the combination of the fast dipole method (FDM) and the AWE technique which only needs to store near-filed impedance matrices and frequency derivatives matrices，and also the matrix-vector multiplication in the iterative solver is accelerated．The computational time and memory consumption are reduced significantly compared with the traditional asymptotic waveform evaluation technique．Numerical results demonstrate that the proposed method is efficient and accurate．Key words: method of moments(MoM) ; fast dipole method(FDM) ; asymptotic waveform evaluation(AWE) ; wide-band RCS

作者简介:聂文艳(1981－)，女，安徽寿县人，讲师，硕士，主要研究方向为智能计算、信息处理等．

基金项目:国家自然科学基金(61401003) ;计算智能与信号处理教育部重点实验室开放基金(KF201401) ;安徽理工大学博士启动基金(ZY507)．

收稿日期:2014－09－17

DOI:10．14182/J．cnki．1001－2443．02．008

文章编号:1001－2443(2015) 02－0144－05

文献标志码:A

中图分类号:TN011