浙江长兴县第二实验小学（313100） 吴慧婷

数学教学中如何引导学生建立模型思想
——对“植树问题”一课教学的深层思辨

浙江长兴县第二实验小学（313100） 吴慧婷

模型思想是《数学课程标准》（2011版）新增的核心概念之一。模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型应先从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，再用数学符号表示数学问题中的数量关系和变化规律，最后求出结果并讨论结果的意义。数学教学中，可通过“基于经验，生成模型；把准目标，关注模型；突出本质，聚焦模型；优化材料，支撑模型；借助直观，提炼模型”的步骤，提高学生运用模型思想的能力。

数学教学 模型思想 数学建模 植树问题

课堂重现：

学校开展教研活动，一名有10年教龄的数学教师执教五年级上册“数学广角”中“植树问题”一课，教学过程如下。

板块一：创设情境，发现问题

1．出示题目。

师：城市绿化小队要在一段长24米的公路的一边等距离进行绿化植树，请你帮助设计一份植树方案，要求植树美观合理。

2．分析题意。

（1）你得到了哪些信息？“等距离”是什么意思？要设计这样一份植树方案，还有什么问题？

（2）你觉得间距可以是多少米？你是怎么想的？

3．学生第一次独立学习。

师：选间距6米来设计植树方案。

板块二：合作探究，得出规律

1．研究种4棵树。

师：你是怎么种树的？先圈一圈，再说说24、6、4分别表示什么。

2．研究种5棵树：为什么要加1？

3．研究种3棵树：为什么要减1？

4．比较观察。

（1）这三种设计方案，有什么相同点？

（2）既然间隔数一样，为什么最后用到的棵数不一样呢？

5．学生第二次独立学习。

师：先选间距8米来设计植树方案，再根据图，直接列算式说明需要多少棵树苗。

6．小结。

师：这样种树简单吗？为什么？

7．用字母表示。

师：如果路的长度由24米变成n米，间距还是6米，这三种情况分别需要多少棵树苗？（生思考）

板块三：联系生活，运用规律

1．你们能举一些生活中类似的例子吗？

2．用这类知识来解决一些实际问题。

（1）5路公共汽车行驶路线全长为12千米，相邻两站之间的距离是1千米，一共有几个站点？

（2）同学们排练团体操，10名女同学等距离排成一队，每两位女同学之间相距8分米，第一位女同学和最后一位女同学之间相距多少？

……

问题探讨：

听了“植树问题”一课，笔者最大的感受是教师关注“双基”目标的落实，但由于教师将教学重点放在得出公式上，导致在引导学生建立“植树问题”的模型上没有到位。

从学生层面来看，学生在被动学习。学生根据教师给的学习任务，先在24米的路上按6米一棵的间距种树，再反馈三种种树情况，然后以8米为间距种树，最后通过观察、分析得出三个公式：间隔数＝棵数，间隔数＋1＝棵数，间隔数－1＝棵数。在解决实际问题“第一位女同学和最后一位女同学之间相距多少”时，学生用10×8来解决。从这可以看出，学生头脑中没有建立“植树问题”的模型，不会用模型思想解决实际问题。

从教师层面来看，有两个方面的问题：一是学生通过画图、列式、比较等活动得出规律，教师误认为这是学生主动探究出来的。其实不然，一直是教师“叫”学生做，而学生则顺着教师的思路按规定程序做。其二，学生得出三个公式，教师误认为学生建立了模型，其实是忽视了引导学生理解和沟通这三个公式，导致学生没有真正建立植树问题的模型。

“植树问题”是“数学广角”的内容之一，教学重点是引导学生经历探索和建立模型的过程。因此，本节课教学应重在引导学生建立“植树问题”的数学模型，并能运用数学的思维方式进行思考，提高学生分析和解决该类问题的能力。

改进思考：

模型思想的建立离不开数学建模活动，《数学课程标准》从义务教育数学课程的实际情况出发，将数学建模活动过程简化为三个环节：一从现实生活或具体情境中抽象出数学问题；二用数学符号表示数学问题中的数量关系和变化规律；三通过模型去求出结果并讨论结果的意义。那么，在“植树问题”一课教学中，如何引导学生建立数学模型呢？笔者对此作了一些思考。

1．基于经验，生成模型

《数学课程标准》强调：“数学教学应尊重学生已有的知识与经验。”笔者对四年级一个班级的学生进行访谈：“你知道‘植树问题’吗？怎么知道的？”全班48人，有39人知道“植树问题”，而学生知道的方式有从书上看到的、课外奥数班学的、科学课上说过的、植树节时问家长的等。笔者接着问道：“学了一节课，怎么还不会呢？”全班48人，5人认为已经会了，43人不会的原因如下。

生1：“植树问题”的类型有很多，就算学会了几种方法，也只是皮毛而已。

生2：有时候分不清楚是加、不加还是减。

生3：老师说的没听懂。

生4：不知道“路程除以间隔数”是什么。

生5：答案都不统一，有些是三个答案，所以就弄不清楚是哪个答案了。

生6：学习“植树问题”后还没好好练习。

……

通过访谈知道，我们的课上与不上都一样，因为这样的教学没有建立在学生已有的知识和经验基础之上，师生纠结于间隔数与棵树的关系。浙江省特级教师叶柱点评时指出：“教师应关注学生已有的知识和经验，让学生经历模糊感觉、充分感知、逐渐感悟的过程。”

本节课中，学生已有的经验比较丰富，教师教学时应引导学生从“植树问题”走向用除法解决问题的理解上。学生在板块一、板块二的教学中充分感知到位，如对信息的分析、对间隔的理解、数与形的结合等，但教师在学生感悟的环节中提供的空间不够。因此，教学此课时，教师不妨分步引导学生将植树的三种情况进行比较，找到共性，从而自然地将“植树问题”归结于用除法解决的问题，然后利用几何直观引导学生进行梳理，使学生将所学知识前后融会贯通。模型思想的建立离不开数学建模活动，从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，发现和提出问题是数学建模的起点。

2．把准目标，关注模型

教学目标既是上好一堂课的前提，又是教学活动的灵魂，并制约着教学活动的全过程。本节课教师预设的目标如下：（1）利用生活情境，引导学生通过探究发现间隔数与棵数之间的关系，并能运用规律解决生活中简单的“植树问题”；（2）渗透数形结合的思想方法，提高学生解决实际问题的能力；（3）使学生感受数学在日常生活中的广泛应用，培养学生的应用意识。其中，教学目标（1）是引导学生探究发现间隔数与棵数之间的关系，这里教师就事论事，没有将“植树问题”与除法知识之间建立联系；教学目标（2）渗透数形结合的思想方法，教师认识肤浅，因为模型思想才是本节课要渗透的重要数学思想方法。另外，教学目标（1）中让学生能运用规律解决生活中简单的“植树问题”，可学生在解决问题时出现了较大的错误率，说明模型建构有问题，导致模型价值无法得到体现。

湖州市小学数学教研员杨海荣老师在评课时谈到教学目标的定位，指出单元目标、课时目标要准确，环节目标要具体，具有可操作性，同时要舍去一些目标，步步落实小目标，对过程不断进行思辨。

本节课的教学目标应围绕“植树问题”模型的建立，引导学生将现实问题转化为数学问题，再经历猜想、试验、归纳、推理的过程，采用数形结合、一一对应等方法理解模型的本质，最后用模型解决现实生活中的同类问题。

3．突出本质，聚焦模型

从平时的听课中看“植树问题”，课堂上虽一帆风顺，可课后学生的作业错误百出，导致学生、教师、家长都讨厌看到“植树问题”的有关练习。关于“植树问题”，笔者对本校15位数学教师和5位实习教师做了访谈，有18位教师认为将“植树问题”的三种类型放在一起进行教学，不仅名词多、难理解，造成学生学习困难，而且他们认为间隔数与棵树的关系应是教学的重点，学生的学习困难也是不熟悉这三种类型。有2位骨干教师认为：“教师应让学生灵活应用‘植树问题’，结合情景对商灵活处理。”“如何抓住‘植树问题’的本质？如何与之前所学的除法知识相联系、沟通，真正理解总长度÷间距＝间隔数，理解几里面有几个几？这里的教学难点是建模的过程。”……

从访谈中可以看出，教师的本体性知识缺失，对知识的理解不深刻。一是对建模的理解错误，误认为得出“植树问题”的三种类型的规律就是建模。二是缺乏分析。学生、家长、教师都感觉“植树问题”有难度，却没有分析“觉得难的原因是什么”“与‘植树问题’类同的‘路灯问题’、‘排队问题’等现象的共性是什么”等问题。本课中，突出“植树问题”模型的本质，可以采用从算式——图式——模式的策略。如在学生列式计算24÷6、24÷6＋1、24÷6－1后，教师应引导学生解释每个算式的意义，再与所画的图对照理解算式的意义，在此基础上得出“植树问题”模型的本质。三种“植树问题”的类型其实是根据实际情况对结果的不同处理而已，因此教师教学时应突出除法是“植树问题”的本质。

4．优化材料，支撑模型

教学时，教师总想让学生学得很顺畅，于是用心埋下伏笔。如本节课开始后，教师问“还有什么问题”，学生问“两棵树之间的距离是多少米”，教师很有心地指着图问：“你指的是这一段吗？这个隔在两棵树之间的这一段，我们把它叫做间隔。你能说说什么是间隔吗？哪里有间隔？上面这幅图中还有间隔吗？”这里，学生需要知道什么是间隔吗？此时出现间隔有必要吗？教师的教学要为学生的学习服务，将学生的思维引向教师预设的轨道，学生会失去主动思维的机会，干扰了后续知识的学习。

又如，课堂教学中，基于学生的经验，交流反馈时教师应从哪里入手进行讲解呢？笔者通过对学生的画图情况统计后发现，12位学生中有9位认为两端都种，只有3位学生认为只种一端。课堂上教师先选择只种一端的情况进行讲解，大多数学生没有经历画图的过程，学习处于被动状态。因此，交流反馈时，教师应从学生的实际情况出发，引导学生将两端都种、只种一端、两端都不种这三种类型进行比较，使学生更深刻地理解这三种类型的异同。

再如，教学中的观察比较环节，教师通过问题“这样种树简不简单啊？为什么呢”，引导学生得出：间隔数＝棵数，间隔数＋1＝棵数，间隔数－1＝棵数。此环节教师只引导学生得出这三个公式，却没有让学生深究模型的本质。因此，课堂教学中，在学生列出24÷6、24÷6＋1、24÷6－1的算式后，教师应引导学生寻找其中不变的东西，再追问“这三种情况为什么答案不一样”，从而使学生不断经历观察、分析、抽象、概括、选择、判断等过程，建立丰富的表征，完成模式抽象，逐步建立“植树问题”的模型。

5．借助直观，提炼模型

借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简单、形象，有助于探索解决问题的思路和预测结果，可以直观地理解数学。模型思想与几何直观密切相关，利用几何中的图形，结合具体的实际问题，可以从模型的角度阐释特定的意义。在本节课教学中，画图的作用尤为突出，如学生自己画图解决问题、利用图交流各种方法、借助图发现规律等，真正发挥图的直观性作用。在对教师的访谈中发现，20位教师都认为画图可心帮助学生理解抽象的规律，便于学生建立模型。同时，在对48位学生进行访谈中发现，很多学生认为画图方便、清晰、不易错，平时学习也常通过画图解决问题。形象的线段图可以帮助学生理解、思考，激活学生的思维，形成正确的表象，利于模型的建立。

总之，模型思想是一种基本的数学思想，教师应在小学阶段教学中予以落实，重在引导学生经历、感悟。学生经历数学建模的过程，不仅能获得知识，提高技能，更有经验的积累和思想、方法的渗透。因此，课堂教学中，教师应引导学生掌握建模的方法，使他们逐步形成运用模型进行数学思维的习惯。

（责编 蓝 天）

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1007-9068（2015）26-021