顾芬华，赵小山，龚汉坤，孔德富

（天津职业技术师范大学理学院，天津 300222）

分数阶R-F系统的混沌行为及其同步研究

顾芬华，赵小山，龚汉坤，孔德富

（天津职业技术师范大学理学院，天津 300222）

针对R-F系统和Lorenz系统，研究了分数阶混沌系统间的混合投影同步。基于分数阶混沌系统的Routh-Hurwitz条件，分析了分数阶R-F系统的平衡点的稳定性；设计合理的控制器使分数阶R-F系统和Lorenz系统达到同步，并基于分数阶稳定性理论，给予严格证明。最后，借助于预估-矫正方法，利用数值模拟验证了该方法的有效性。

分数阶微分；投影同步；预估矫正；控制器

近十几年来，分数阶混沌现象引起了人们的广泛关注，尤其是人们发现了分数阶Chua′s电路、分数阶Chen系统、分数阶Lorenz系统[1]、分数阶Liu系统等系统之后，对分数阶混沌系统的研究更是成为近几年的热点。而混沌系统之间的同步研究也逐渐受到关注，并且已取得了一些成果[2-7]。投影同步是Mainieri和Rechacek在1999年研究部分三维混沌系统时观察的现象，Xu[8]又分别给出了三维和任意维部分线性系统实现投影同步的条件，并应用于数字安全通信领域。之后投影同步受到广泛关注并被推广到其他情形，如全状态混合投影同步、修正投影同步、广义投影同步等。

本文基于分数阶混沌系统稳定性理论，分析了分数阶Rabinocich-Fabrikant系统（分数阶R-F系统）在平衡点的稳定性，通过设计合理的控制器，实现了分数阶R-F混沌系统和分数阶Lorenz系统间的混合投影同步。

1 分数阶微分定义

在研究分数阶微积分时，对微分和积分的概念提出了许多种定义，应用较多的是Caputo定义和Riemann-Liouville（R-L）定义，本文应用的是Caputo定义[9]：