田井呈,　王飞宇,　卓克琼,　赵朝会

(上海电机学院 电气学院, 上海 201306)



三维空间热路模型及其在电动机温度场计算中的应用

田井呈,王飞宇,卓克琼,赵朝会

(上海电机学院 电气学院, 上海 201306)

摘要：基于等效热路模型的温度场计算方法研究受到了广泛的关注，针对运用于电动机温度场计算的三维空间等效热路模型，阐述了热路模型的基本原理，总结了立方体T型、空心圆筒双T型、三维立方体和扇体热路的数学模型。结合热路模型在电动机温度场计算中的应用，探讨了其未来的发展趋势，对电动机温度场的计算及其散热系统的设计具有一定的借鉴意义和参考价值。

关键词：电动机; 温度场; 三维空间等效热路模型; 数学模型

电动机温度场的计算方法主要有热参数法、等效热路法、计算机数值解法。其中，热参数法是采用叠加原理计算各热源单独存在时被研究对象的温升之和。等效热路法假设研究对象中真实热源和热阻被少量的集中热源和等值热阻所代替，并假定两者不取决于热流的大小，通过绘制电动机的等效热路图并结合电路的求解方法计算电动机中的温度分布。计算机数值解法主要有两类，一类是以等效热路法为基础的热网络法[2-4]；另一类是以计算传热学为基础的数值计算方法[5-6]，如计算流体动力学(Computational Fluid Dynamics, CFD)和有限元分析(Finite Element Analysis, FEA)软件。实际工程中，温度的三维分布给其求解和分析都会带来很大困难；而热路法的运用可避开三维温度场直接求解的复杂性，其利用热学中较为成熟的解析计算方法，将三维问题转换为一维问题，结合线性电路方程的求解方法进行求解，一直以来受到了国内外学者的普遍关注[7-9]。为了提高热路法的求解精度，进一步考虑电动机中所求区域材料导热性质的各向异性，基于三维空间热路法的电动机温度场计算方法已成为近年来的研究热点。

文献[10]中基于立方体和空心圆筒T型热路单元，主要研究了不同转速下旋转电动机气隙的对流换热系数，建立了适用于电动机温度场计算的三维热路模型，通过对3种不同结构的电动机进行测试，证明了该模型的准确性，为高功率密度电动机的设计和应用提供了指导。

为提高T型热路法的计算精度，文献[11]中详细推导了T型热路法的基本原理，进一步修正了T型热路法的不足。文献[12]中提出了立方体热路单元，并将其运用于感应器的温度场计算，利用有限元法验证了该模型的正确性。考虑到旋转电动机的结构特点，文献[13]中提出了扇体热路单元的概念，并检验了该模型的正确性。文献[14]中充分吸收了立方体和扇体热路单元的特点，提出了三维空间热路法的概念，并将其运用于一台开关磁阻电动机的温度场计算，其结果与基于有限元法的计算结果相比较相差甚微，满足求解精度的要求。

由上述研究可见，三维空间热路法主要包括立方体热路模型和空心圆筒热路模型。其中，由于等效条件不同，立方体热路模型又分为仅沿直角坐标系某轴向的单一3节点T型热路模型和多轴向多节点的立方体热路模型。除双T型热路模型外，空心圆筒热路模型可进一步等效为扇体热路模型。由于三维热路模型可针对某一指定的求解区域，根据其结构特点和传热特性，对其利用不同的热路模型单元进行划分并分析计算，故对于电动机这种结构复杂、多物理域相互作用的系统，三维热路模型的建模方式具有很大的优势。

本文在详细阐述等效热路法基本原理的基础上，总结了立方体T型热路、空心圆筒双T型热路、立方体和扇体热路的数学模型；并结合三维热路模型在电动机温度场计算中的应用，探讨了其未来的发展趋势，对电动机的温度场计算及其散热系统的设计具有一定的参考价值。

1热路的基本原理及特点

1.1　热路法的基本原理

温度场的求解问题实际上是一个三维问题。等效热路法的运用是为了避开复杂的三维问题，转而将其简化为一维问题求解。如图1所示，假设热量只沿x轴方向传导，立方体内部无热量生成且沿x轴方向上两个平面的温度分别为T1和T2，则可得热量沿x轴方向上的等效热路。该热路具有2个端子，热阻

(1)

式中，A为立方体沿x轴方向上的表面积；K为与立方体材料特性有关的等效导热系数；L为热流路径的长度。由等效热路可知，

T1-T2=qR

(2)

式中，q为流入立方体的热流量，类似于电路中的电流。

图1　一维传热模型Fig.1　One dimensional heat transfer model

以上为热路法的基本原理。为满足实际工程运用要求，等效热路法的应用须满足如下条件：

(1) 忽略所研究物体内部的热物理过程；

(2) 物体本身所生产的热量在物体中均匀分布；

(3) 热量在物体中的流动是单向且独立的，忽略热量的回流；

(4) 材料的导热系数是线性的，忽略导热性能的非线性影响。

1.2　热路法的应用步骤

热路法来源于集中参数电路理论，利用传热学中较为成熟的解析法将所求区域集中为相应的热阻、热容等参数元件，即只考虑物体外部的温度效应而忽略物体内部发生的细微过程。热路与电路的定义对比如表1所示。其中，热容的引入是为了表征材料本身储存热量的能力，即温度每变化1℃材料吸收或放出热量，用于瞬态温度计算。热容

Cp=c ρ V

(3)

式中，c为材料比热容；ρ为材料密度；V为所分析物体的体积。

表1　热路与电路符号定义对比

针对某一特定的求解区域，一般将热路法的应用分为以下步骤： ① 确定求解区域；② 根据求解区域选择热路单元；③ 计算热路参数；④ 编辑热路图；⑤ 求解热路图；⑥ 分析计算结果。

热路单元的选择在整个热路法运用过程中尤其重要，对求解区域合理的单元划分直接决定了最终计算结果的精度。本文详细叙述目前运用的热路单元及其数学模型。

2三维热路单元及其数学模型

2.1　立方体T型热路单元

物体的温度升高往往是由于物体内部生成的热量造成的。图1中的立方体模型没有考虑物体内部产生的热量，仅作为热量传递的路径。若计及物体内部的生热并假设其内部生成的热流为q，立方体的温度变化只与其本身所产生的热量相关，且热量只沿x轴方向传导，忽略外部环境温度的影响，则将其作如图2所示的等效。图2(b)中，T为该立方体的平均温度值。需要说明的是，T与T′之间的热阻为负值，为等效后的附加热阻，若省略，将使得求解温度值偏大[11]。通过等效热路图，再结合一定的边界条件，就能估算整个立方体的平均温度值以及沿x轴方向上两个表面的平均温度值。

图2　立方体T型热路模型Fig.2　T-type cuboidal thermal model

2.2　立方体三维空间热路单元

立方体T型热路单元只计及单一轴向上的温度等效计算，但是材料的导热性能是各向异性的，导致物体中温度的分布梯度也是各向异性的。为提高求解的精度，可进一步考虑热量在立方体各方向的流动，从而产生了如图3所示的三维度空间热路模型。

图3　立方体热路单元Fig.3　3D cuboidal thermal model

为区别于立方体T型热路单元，将其称为立方体三维空间热路单元。图3中：

(4)

(5)

(6)

(7)

Cp=cρV

(8)

式中，Kx、Ky、Kz分别为沿x、y、z方向的传热系数，取决于材料本身热物理性能；Ax、Ay、Az分别为沿x、y、z方向的有效传热面积；Lx、Ly、Lz分别为沿x、y、z方向的传热路径长度；此外，Tx1、Tx2，Ty1、Ty2，Tz1、Tz2分别为立方体沿x、y、z方向上各个表面的平均温度值；TC为整个立方体单元的平均温度值；RC为前述引入的附加热阻。

2.3　空心圆筒双T型热路单元

图4所示为空心圆筒双T型热路模型。

图4　空心圆筒热路模型Fig.4　Hollow cylinder thermal model

图4中，T1、T2分别为空心圆筒内外两个圆表面的平均温度值，T3、T4分别为圆筒上、下两个底面的平均温度值。同理，TH为整个空心圆筒的平均温度值，Ra为轴向等效传热路径上的附加热阻，Rr为径向等效传热路径上的等效热阻，RH为整个热路模型的附加热阻。其中：

RH=Ra+Rr

式中，ka、kr分别为空心圆筒沿轴向和径向的等效导热系数。

空心圆筒热路单元也是一种典型的热路单元，来源于多层圆筒壁导热的解析计算，其应用需要满足如下假设条件：

(1) 沿圆筒轴向和径向的热流路径是独立的；

(2) 圆筒温度等效为平均温度，表征圆筒轴向和径向的热流流动；

(3) 热流是单向传递的，同一路径上无回流；

(4) 圆筒中产生的热量在圆筒中均匀分布。

2.4　扇体热路单元

同立方体热路单元的发展一样，为提高空心圆筒热路单元的计算精度，进一步考虑圆筒沿周向上的热量流动，产生了图5所示的扇体热路单元。

图5　扇体热路单元Fig.5　Arc segment element

图中：

式中，Ka、Kc、Kr分别为沿轴向、周向、径向的等效导热系数；Ta1、Ta2，Tc1、Tc2，Tr1、Tr2分别为扇体沿轴向、周向和径向上各表面的平均温度值；TA为扇体平均温度值；RA为附加热阻。同立方体单元一样，利用等效热路和相应的边界条件可估算该扇体不同表面的温度大小和平均温度值。

3空间热路法在电动机温度场分析中的应用

3.1　基于空间热路法的电动机温度场计算

1979年，Perez等[15]提出了运用于电动机温度场计算的稳态等效热路图，并对T形等效热路单元的数学模型进行了详细推导。通过对一系列电动机温度测试结果的分析，证明了该建模方式在电动机温度场计算中的可行性，但并未对电动机轴承等效热阻的计算提供相应的方法。随后，Mellor等[16]在电动机发热元件对应的热路温度节点中引入热容，计算元件吸热和放热瞬态过程对电动机元件中温度分布的影响，建立了较为完善的中小型电动机十节点瞬态等效热路模型；并通过对不同厂商设计的一系列全封闭自扇冷式感应电动机进行测试，结果表明该模型能够准确预测电动机主要部位的温度，不足之处在于热路中温度节点数目增多，使得热路中相关参数的计算过程变得繁琐。

基于立方体T型和空心圆筒双T型热路单元两种基本的空间热路单元的电动机温度场计算分析，国内外学者做了大量研究[17-19]。但对于更高精度的三维立方体和扇体热路单元的电动机温度场计算方法，是近年来才出现的。图6所示的球形电动机温度热路模型就是典型的三维空间热路模型[20]，图中所用符号与本文所述不尽相同，相关的热路参数符号分为4部分，即损耗(热源)、等效传导热阻、等效对流换热热阻和等效辐射换热热阻。损耗分别为永磁体涡流损耗Pm、Pm1、Pm2，转子铁芯损耗PAl1、PAl2，定子铁芯损耗PAl3，绕组铜耗PCu，线圈与铁芯的损耗PCuAl1、PCuAl2、PCuAl3、PCuAl4，定子外壳产生的损耗PAl4。

图6　球形电动机三维热路模型Fig.6　Spherical motor 3D thermal model

整个热阻中的传导热阻分别为永磁体等效传导热阻Rm1、Rm2，转子铁芯和永磁体间的等效传导热阻RAl1、RAl2，定子铁芯与线圈间的等效传导热阻R01、R02、R03和R04，线圈内部的等效传导热阻R11、R12、R21、R22、R31、R32、R41、R42，定子铁芯内部的等效传导热阻R51、R52，定子铁芯与定子外壳间的等效传导热阻RAlAl，线圈与定子外壳间的等效传导热阻RCuAl3、RCuAl4、RCuAl5、RCuAl6。

对流换热热阻包括永磁体与转子腔内气体间的等效对流换热热阻RmA，定子铁芯与永磁体间的等效对流换热热阻RAlm，线圈与永磁体的等效对流换热热阻RCum1、RCum2、RCum3，线圈与转子铁芯间的等效对流换热热阻RCuAl1和RCuAl2，线圈间的等效对流换热热阻RCu1、RCu2、RCu3、RCu4，定子外壳与外部气体间的等效对流换热热阻RAlA1。

最后，计及定子外壳与外部气体间发生的辐射换热，引入等效辐射换热热阻RA1A2。文献[20]中利用空间热路模型建立了球形电动机较为完善的等效热路图，并利用有限元数值解法验证了热路求解结果，证明了空间热路模型不仅能够满足求解精度的要求，且在很大程度上节省了计算机资源和求解时间。尽管立方体T型热路单元和空心圆筒双T型热路单元已大量应用于电动机温度场的计算，但如前所述，三维立方体和扇体热路单元在电动机温度场计算中的应用较少，故文中对球形电动机热路模型的应用，不仅对电动机温度场的求解具有参考价值，且对于三维立方体和扇体热路单元的发展和应用均具有重要的影响。

3.2　电动机空间热路计算软件Motor-CAD的应用

伴随着空间热路法在电动机中的运用，相应的电动机热路计算软件应运而生，Motor-CAD是唯一一款基于三维热路模型制作而成的商用电动机热路分析软件，主要基于T型热路模型和空心圆筒热路模型。该软件给出了9种常用电动机的热路和参数，这些参数来自于国内外有关电动机热路计算方法的研究成果和大量的实际测试数据[21]，计及了电枢绕组的处理、铁芯的装配工艺以及多种冷却方式对电动机温度场计算的影响。由于软件中集成的热路仅与电动机的制造材料和相关设计参数有关，故能够方便地对电动机的温度进行参数化分析和优化设计，得到了广泛的应用[22-23]。

图7给出了Motor-CAD软件界面。其中图 7(a)(b)为基于Motor-CAD软件的一台表贴式永磁同步电动机的径向和轴向截面图，在界面的左侧输入电动机的相关结构参数，并选择相应的冷却方式，可直接计算出电动机中的温度分布。其中，稳态温度分布以等效热路图的方式显示(见图7(c))。与电动机的对称结构对应，等效热路图主要分为转轴、转子铁芯、永磁磁钢、电枢绕组、定子铁芯、机壳和端盖等部分，每一部分具有相应的热路拓扑和热路参数；各部分热路综合起来构成整个电动机的热路系统；外围部分支路为外部环境的温度。基于上述热路数学模型的分析可知，热路中每一个节点代表电动机相应部位的温度值，通过输入电动机的相关设计参数，如定子外圆半径、铁芯长度、定转子槽数、各部分损耗值等，并选择相应的冷却方式，热路图中即显示相应节点的温度值、节点之间的热阻值、损耗值等。此外，若选择计及材料的瞬态储热特性，则可计算出热路中各节点的瞬态温度曲线(见图7(d))，并可对电动机的设计参数进行温度敏感性分析，从而可以优化电动机结构。

图7　Motor-CAD软件界面

3.3　空间热路法的发展趋势

从T型热路模型、空心圆筒热路模型到立方体和扇体热路模型的发展来看，空间热路法的等效程度在逐渐提高，其模型也经过多次检验和修正。但在电动机温度场计算中，大多还集中在对立方体T型热路单元以及空心圆筒热路单元的应用上，而高精度的三维立方体和扇体热路单元的运用还较少见。尽管近年来有限元数值解法在温度场计算中的运用越来越成熟，但仍然无法对电动机进行全域温度分析求解。对于电动机这样一个复杂的系统而说，合理地选用相应的热路单元，在一定的等效条件下，三维空间热路法的运用将具有更大的优势，可作为电动机全域温度场分析与计算的有力途径。未来对于空间热路法的发展可归纳为以下几个方面：

(1) 复杂电动机运行系统的温度场计算与分析。三维热路模型运用灵活，针对复杂的电动机系统将具有很好的适应性，如高压大电动机、潜水电动机、空气压缩机电动机等，这些电动机或功率大、绝缘要求高，或运行环境复杂、安装空间受限，对其温度场的分析计算、散热系统的设计提出了较为严苛的要求，但目前针对这些电动机的热场分析，三维热路法的应用研究还未见发表。

(2) 基于三维热路法的大型商用软件的开发。目前，基于空间热路模型的电动机温度场计算软件较为成型的只有Motor-CAD，且主要集中于普通中、小型电动机的温度场分析，虽然也可以根据热路的数学模型利用其他编程软件进行编程计算，但较为耗时和不便，故开发出精度更高、使用更为灵活的大型空间热路分析软件，是三维热路法发展的必然趋势。

(3) 在电动机实时温度检测系统中的应用。电动机是一个多物理场相互耦合的系统，集电磁、温度、流体和结构于一身，因此，电动机的温度检测一直是一个有待突破的技术难点。现有的检测方法无法准确得到某一特定区域的温度值，且温度是实时变化的，就更加大了电动机温度检测的难度，三维热路法具有计算速度快的优点，因此，集成了三维热路模型的电动机温度检测系统也将会是其发展的一大趋势。

4结语

针对电动机温度场的分析和计算问题，本文运用三维空间等效热路模型，详细阐述了热路法的基本原理，总结了立方体T型热路、空心圆筒双T型热路、三维立方体和扇体热路的数学模型。最后，结合热路模型在电机温度场计算中的运用情况，探讨了热路模型未来的发展趋势，对电动机的温度场计算及其散热系统的设计具有一定的借鉴意义和参考价值。

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3D Space Thermal Circuit Method and Application inCalculation of Motor Temperature Field

TIANJingcheng，WANGFeiyu，ZHUOKeqiong，ZHAOChaohui

(School of Electrical Engineering, Shanghai Dianji University, Shanghai 201306, China)

Abstract：This paper aims at the use of a 3D space equivalent thermal circuit model in temperature field calculation, and discusses the basic principle of thermal circuits. The mathematical models of T-type cuboidal thermal circuits, hollow cylinder double T-type thermal circuits, and 3D cuboidal and arc segment thermal circuits are introduced. In conjunction with the applications of thermal circuit models in the calculation of motor temperature fields, the development tendency is discussed. This study provides references to the calculation of motor temperature and design of cooling systems.

Key words：motor; temperature field; 3D space equivalent thermal circuit model; mathematical model

文献标志码：A

中图分类号：TM 301.41

文章编号2095 - 0020(2015)06 -0337 - 08

作者简介：田井呈(1990 -)，男，硕士生，主要研究方向为电机设计及其多物理场仿真，E-mail： 526837119@qq.com

基金项目：上海市教育委员会科研创新项目资助(13ZZ142)

收稿日期：2015 - 09 - 25