莫根林，吴志林，冯杰

(1.江苏大学 机械工程学院，江苏 镇江212013;2.南京理工大学 机械工程学院，江苏 南京210094)

0 引言

弹药破片常预制成需要的形状如球形、菱形(平行六面体)、小箭形等，装入套筒式弹体中，靠弹丸内的炸药或抛射药使其获得必要的初速以杀伤目标［1］。创伤弹道学中，常采用明胶作为人体组织的替代物研究破片对人体的杀伤机理［2］。

球形破片在明胶中的运动可看作一维直线运动。Sturdivan［3］、Nennstiel［4］、Seglets［5］均将球形破片的受力表示为:F =(cDv2+cVv +cS)S，其中cD、cV和cS分别为动态阻力系数、粘性阻力系数和静态阻力系数，S 为球形破片的迎风面积。Sturdivan［3］假设静态阻力系数cS为0，根据流体边界层理论，将粘性阻力系数cV表示为粘度和边界层厚度的函数;Nennstiel［4］假设cV和cS为0，根据实验数据拟合了球形破片的动态阻力系数cD. Seglets［5］假设球形破片的受力和明胶的应变率相关，将cS表示为应变率的函数。Liu 等［6］考虑了球形破片侵彻明胶的分离角，将破片的迎风面积表示为分离角的函数。对于非球形破片，文献［3］假设破片撞击明胶表面时存在一定的动量损失，通过拟合实验数据得到了立方体破片和柱形破片稳定侵彻阶段的的阻力系数;该模型以破片的平均迎风面积作为实际迎风面积，没有考虑破片姿态对侵彻过程的影响。

Eisler 等［7］假设质点在明胶中的受力为速度的二次多项式，以此推导了一维杆的受力方程。Peters等［8］假设弹头为刚性体，弹头表面微元的受力由静力项和动力项组成，其中静力项为常数、动力项为明胶密度和法向速度平方的乘积，并认为该模型可以较好地预测弹头攻角0.5° ～3.0°内的运动，不能预测弹头大翻滚的情况。文献［9 -11］将旋转体弹头微元的受力表示为微元速度的二次多项式，较好地模拟了弹头在铝板、混凝土靶、岩石靶和钢板的侵彻过程。本文拟采用这种表面受力积分的方法建立长方体破片侵彻明胶的受力模型，并开展相应的实验研究。

图1 长方体破片的瞬时空腔Fig.1 Temporary cavity in gelatin

1 问题描述

球形破片侵彻明胶时，其运动可看作直线运动，明胶中的瞬时空腔是锥形。而长方体破片侵彻明胶时，破片的运动是空间的。明胶中形成的空腔也不是锥形，如图1 所示。显然球形破片的一维运动模型不能用于描述长方体破片的运动，需要建立长方体破片的六自由度运动模型。对于刚性体而言，只需要获得长方体破片所受的外力。

2 模型

2.1 模型假设

1)假设长方体破片为刚性体，不考虑破片侵彻过程中的弹塑性变形。首先长方体破片(45#钢)的弹性极限较小(应变小于0.2%)［9］，破片的弹性变形不可能很大;其次实验收集的破片没有明显的塑性变形。

2)根据文献［10 -12］，假设微元面侵彻明胶时的接触应力为f，它可以表示为

式中:cDe为动态阻力系数;cSe为静态阻力系数;v 为面元的速度;dS 为微面元的面积;n 为面元的外法线方向。

该假设中微元面所受压力由动力项cDe(vn)2和静力项cSe构成。球形破片侵彻明胶的实验表明，将cSe视为常数能较好地模拟破片的运动规律［3-4，6］。文献［13］采用面元积分的方法，对直径3.0 mm、4.0 mm和4.8 mm 球形破片的实验数据进行了拟合，确定了球形破片的静态阻力系数cSe= -560 000 kg/ms2. 由于静力项可理解为明胶剪切破坏所产生的阻力，这里假设长方体破片的静态阻力系数和球形破片的相同。动力项可理解为微元推动迎风面明胶运动所产生的阻力。由于流场的分布和破片的外形有关，长方体破片的动态阻力系数和球形破片的可能不同。本文将通过试算得到长方体破片的动态阻力系数。

2.2 几何和运动学参数

长方体破片的尺寸参数如图2 所示，令AB、BC和CD 三边的长度分别为a、b、c;在长方体破片的几何中心O 建立直角坐标系Oxyz，其中Ox 平行于AB、Oxy 平行于底面ABC、Oz 垂直底面向上。令Ox、Oy 和Oz 三轴的基矢量分别为i、j、k.

图2 长方体破片的尺寸参数Fig.2 Dimensions of cuboid fragment

建立固定坐标系O'x'y'z'，令O'x'、O'y'、O'z'三轴的基矢量为i'、j'、k'. 以欧拉角描述连体坐标系Oxyz 相对坐标系O'x'y'z' 的转动，其中φ、ψ 和θ分别表示自转角、进动角和章动角，令θ 为Oz 轴与O'z' 的夹角。破片表面任意点的矢径r'可表示为

破片表面任意点的速度v'可表示为

ωx、ωy和ωz分别为角速度在x、y 和z 方向的分量，表达式为

r'处微元的面积dS 可表示为

式中:dx 为坐标增量;s、t 为自由指标，但s≠t.

由于坐标系Oxyz 的坐标轴和长方体破片的三边平行，r'处微元的外法线方向n 为

将(4)式、(7)式和(8)式带入(1)式可求得任意位置点的受力f. 将f 对质心O 点取矩得

2.3 运动方程

根据高等动力学理论［14］，破片的质心运动方程可以表示为

破片推广的欧拉运动方程可以表示为

式中:

Jx、Jxy、Jyz、Jy、Jxz和Jz为破片对Oxyz 坐标系的惯性张量分量;∑Mx、∑My和∑Mz为破片绕x、y和z 轴的力矩分量。

对(6)式、(10)式、(11)式和(12)式整理，得长方体破片侵彻明胶的六自由度运动方程:

式中:k1、k2和k3为

H1、H2和H3分别为

2.4 算例

令均质长方体破片的密度为7.9 g/dm3，三边的长度a、b、c 分别为2.0 mm、2.0 mm 和2.5 mm，其初始姿态角φ、ψ、θ 分别为10°、10°和10°. 令该长方体破片的动态阻力系数为400 kg/m2. 破片沿z'轴以500 m/s 入射明胶，其质心位移随时间的变化如图3 所示。破片x'方向的位移为负值，先变小后变大，最小值为-5.0 mm;y'正方向的位移为正值，先变大后变小，最大值为13.2 mm;z'方向的位移也为正值，从0 逐渐增加到130.1 mm. 破片欧拉角随水平侵彻位移的变化如图4 所示。长方体破片水平侵彻距离达到最大过程中，欧拉角逐渐停止变化，其中，ψ 稳定为11.9°，φ 稳定为8.0°，θ 稳定为6.6°.

图3 质心位移随时间的变化Fig.3 Displacement vs. time

图4 欧拉角随位移的变化Fig.4 Euler angle vs.

3 实验验证

实验中，明胶块由10%的弹道明胶制成，尺寸为30 cm×30 cm×30 cm. 明胶块使用前在4 ℃保温箱中保温24 h. 弹道枪发射2 发长方体破片，枪口距离明胶块表面5 m. 表1 为实验长方体破片的外形参数，破片质量为0.151 g. 采用帧频1.5 MHz 的高速摄影拍摄破片在O'y'z' 平面的运动，拍摄角度如图5 所示。高速摄像机的像素分辨率为0.7 mm/像素。采用Phantom camera control 软件读取质心位移数据时，容易造成1 ～2 个像素的误差。本文采用getdata 软件读取破片的质心位移，一定程度上克服了分辨率不足的缺点。

表1 长方体破片的外形参数Tab.1 Shape parameters of the fragment

图5 高速摄像机和明胶块的相对位置Fig.5 Schematic of positions of the high-speed camera and gelatin block

以破片进入明胶前连续两帧的平均速度作为破片的初始速度。假设破片在x' 方向的速度为0，2 发长方体破片的初始位移和初始速度如表2 所示。

表2 长方体破片的初始位移和初始速度Tab.2 Initial displacements and initial velocities

长方体破片入靶前连续两帧在O'y'z' 平面的投影保持不变，可认为其角速度为0. 根据平面投影，可试算得到实验长方体破片的初始欧拉角。2 发长方体破片模型投影和实验投影的比较如图6 所示。表3 为长方体破片的初始欧拉角和角速度。

图6 长方体破片的平面投影Fig.6 Initial projections of cuboid fragments

通过试算可知，cDe=572 kg/m3时2 发长方体破片在水平方向和竖直方向的位移误差较小。1号破片在z'方向位移理论值和实验值的比较如图7 所示，最大误差为1.4 mm，平均误差为0.67 mm;图8为1号破片y'方向位移和时间的关系，模型的最大误差为0.97 mm，平均误差0.22 mm.

表3 长方体破片的初始欧拉角和初始角速度Tab.3 Initial Eulerian angles and the initial angular velocities of the first fragment

图7 1号实验破片随时间的变化Fig.7 vs. t of Fragment 1

2号破片z'方向侵彻位移理论值和实验值的比较如图9 所示，最大误差5.9 mm，平均误差3.9 mm;图10 为2号破片y'方向侵彻位移和时间的关系，模型的最大误差为1.2 mm，平均误差0.62 mm.

考虑实验数据的读取误差，以及长方体破片几何误差、初始参数误差等对理论值的影响，可认为1号和2号长方体破片的位移误差是较小的。表明模型获得的动态阻力系数是合理的。

4 结论

图8 1号实验破片随时间t 的变化Fig.8 vs. t of Fragment 1

图9 2号实验破片随时间t 的变化Fig.9 vs. t of Fragment 2

图10 2号实验破片随时间t 的变化Fig.10 vs. t of Fragment 2

实验研究表明长方体破片侵彻明胶过程中，除了质心的平移运动还有剧烈的空间翻滚运动。本文基于长方体破片侵彻明胶的接触假设和接触面的应力分布假设，建立了长方体破片侵彻明胶的六自由度运动模型。实验表明该模型能够较好地描述长方体破片侵彻明胶的空间运动规律。通过试算法，本文获得了长方体破片的动态阻力系数。该模型的建立为进一步评估长方体破片的杀伤效能和优化设计提供了参考依据。

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