周智恒　钟辉强　戴铭

(华南理工大学 电子与信息学院, 广东 广州 510640)

一种动态的梯度向量流模型*

周智恒钟辉强戴铭

(华南理工大学 电子与信息学院, 广东 广州 510640)

摘要：传统的基于梯度向量流的活动轮廓模型只能产生静止不变的外力场,外力场中普遍存在“平衡问题”,导致轮廓曲线难以收敛到长凹形边界.为此,文中提出了一种动态的梯度向量流模型.该模型首先利用与演化轮廓曲线相关的示性函数对边缘梯度图进行加权并扩散生成一个动态力场,然后利用边界停止函数控制演化轮廓曲线的收敛.该模型充分利用了演化轮廓曲线的信息,避免了静态外力场因“平衡问题”导致的过早收敛问题,能够驱使轮廓曲线收敛到凹形边界.仿真实验结果表明,相比于传统的模型,文中模型能成功地分割出目标的长凹形边界,并且对复杂目标边界也有较好的分割效果.

关键词：图像分割;活动轮廓模型;动态梯度向量流

图像分割作为一种为图像处理与计算机视觉提供准备性工作的基础操作,已广泛应用于道路交通、机器人智能和医学图像等领域.活动轮廓模型(ACM)是一种经典的图像分割算法,包括基于轮廓边界的活动轮廓模型[1- 6]和基于区域的活动轮廓模型[7-11].基于轮廓边界的活动轮廓模型又分为参数活动轮廓模型[1- 4]和几何活动轮廓模型[5- 6].ACM把图像分割问题转换成一个能量优化问题,该能量由内部能量和外部能量组成,内部能量控制曲线的平滑性和刚性,外部能量控制曲线的演化方向.它通过求解一个曲线演化方程的最小值得到目标分割的最终曲线.文中主要关注基于向量场的参数活动轮廓模型.

传统Snake模型的能量函数是非凸函数,该模型对曲线初始化十分敏感,并且无法分割出目标的凹陷边界[1].为解决这些问题,人们提出了许多改进的模型.Xu等[2-3]用静态力场代替能量函数的外部能量,将边缘梯度信息扩散到更广的图像区域,提出了梯度向量流(GVF)模型[2]和广义梯度向量流(GGVF)模型[3].GVF由图像的边缘梯度图扩散生成,它大大提升了活动轮廓的捕捉范围,并在一定程度上增强了轮廓线收敛到凹形边界的能力.GGVF模型对GVF模型进行推广,是一个广义GVF模型.无论是GVF还是GGVF,轮廓曲线无法收敛到长凹形边界.Ning等[12]提出了一个改进的法向梯度向量(NGVF)模型,该模型引入各向异性扩散方法生成外力场,与GVF模型相比较,它对噪声具有更强的鲁棒性,并且能解决部分凹形边界问题.然而,对于复杂凹形边界,轮廓曲线在演化时依旧会过早收敛.Li等[13]提出了向量场卷积(VFC)模型,采用边缘梯度图与一个向量场核卷积生成外力场,与GVF和GGVF模型相比,VFC模型在对参数的敏感性、对噪声的鲁棒性和计算复杂度等多方面都有较大的优势.但对于复杂的长凹形边界,边界各点处产生的外力相互作用,使得轮廓曲线停留在不理想的位置.GVF、GGVF和VFC模型都是用静态的外力场代替传统蛇模型中的外部能量,对于复杂的长深凹边界,不管是边缘梯度图扩散生成外力场,还是边缘梯度图卷积生成外力场,不同区域的边缘都会相互影响,导致外力场中出现冲突的部分不可避免地出现“平衡”问题[14-17].当初始轮廓曲线在目标边界外部时,轮廓曲线在演化时会出现过早收敛、无法分割出目标的长深凹边界现象.

除了静态外力场模型,一些学者也提出了动态外力场模型,如静磁场活动轮廓模型(MAC)[14]、流体向量流(FVF)等[16].MAC模型假设目标边界带有电流,电流生成一个磁场,将该磁场看作活动轮廓模型的外力场,演化轮廓线带有电子,电子在磁场中运动并在磁场力的作用下吸引到边界.MAC模型能分割出复杂的目标边界,结合水平集方法还能分割出多目标边界,但它依赖边缘检测算子来定位目标边界,因而容易误检测到噪声点作为目标边界.最近,基于C-V模型[7]的全局最小化活动轮廓模型[9]得到了广泛关注,这些模型比C-V模型有更好的分割效果,但对于图像区域灰度不同质的情形,难以获得令人满意的结果.

为了防止轮廓曲线在演化时过早收敛，并能准确地分割出复杂的长凹形目标边界,文中提出了一种动态的梯度向量流模型，该模型在GVF的基础上引入示性函数,生成一个与演化轮廓曲线相关的边缘梯度图,并用该边缘梯度图扩散生成一个动态力场;同时结合边界停止函数控制演化轮廓曲线的收敛.

1传统的Snake模型和GVF模型

Snake模型将图像分割问题看作是一个能量优化问题,通过最小化演化轮廓曲线的能量函数分割出目标边界.用参数V(s)=[x(s),y(s)]表示活动轮廓曲线,s∈[0,1]是弧长参数,则曲线能量函数可表示为

Eext(V(s))ds

(1)

式中:α、β、γ为控制参数方向;V′(s)和V″(s)分别为V(s)的一阶导数和二阶导数,分别控制曲线的平滑性和刚性;Eext(V(s))为外部能量函数,控制曲线的演化方向,使曲线收敛到图像的目标边界,通常可以定义为

(2)

Gσ(x,y)为二维高斯函数, σ为标准差数.

针对Snake模型收敛范围很小、对噪声比较敏感、无法分割出目标的凹形边界问题,Xu等[2]提出了GVF模型.GVF模型是用静态图像作用力来代替Snake模型中的外力.静态图像作用力通过对图像的梯度矢量进行扩散而得到,扩大了Snake模型的收敛范围,提高了收敛到目标凹形边界的能力.定义I(x,y)为灰度图像, f(x,y)为边缘梯度图,梯度向量场为V(x,y)=[u(x,y),v(x,y)],则V(x,y)=-Eext,为了求得V(x,y),可以通过优化以下扩散能量函数来实现：

(3)

式中,μ是控制参数,ux、uy分别是u(x,y)关于x、y的偏导数,vx、vy分别是v(x,y)关于x、y的偏导数.

2动态梯度向量流模型

传统的GVF场是一个静态的外力场,通过边缘梯度图扩散生成,外力场不随时间、演化曲线等因素的变化而变化.在扩散过程中,不同区域的边缘相互影响,导致外力场中出现冲突的部分不可避免地出现“平衡”问题.对于目标含有长凹形边界的图像,在演化过程中,一部分轮廓曲线收敛到目标边界;一部分轮廓曲线(凹形边界附近区域的轮廓线)由于“平衡”的存在而过早收敛.如图1所示,GVF向量场中存在“平衡”问题,当曲线演化至“平衡”位置时,由于没有足够的外力使曲线往凹形边界演化,故曲线沿着与曲线平行的方向演化,导致曲线陷入闭环流动而停止收敛;从曲线的能量优化角度看,这是一个局部极小值问题,曲线无法收敛到图像的真实边界.在长凹形边界图像、边界窄口图像,以及复杂边界图像中,这样的问题经常存在.

图1　GVF模型的“平衡”问题Fig.1　Equilibrium issue of GVF model

为消除不同区域边缘的相互影响,避免由于“平衡”导致的过早收敛,文中引入一个示性函数,用于标记演化轮廓曲线内、外部.这里假设初始轮廓曲线都在目标边界外部,故可以用轮廓曲线内部的图像边缘梯度图扩散生成外力场.若目标的部分边界已有轮廓曲线演化到达,则取消该部分图像边缘梯度的作用,仅用轮廓曲线内部未有轮廓曲线演化到达的图像边缘梯度图扩散生成外力场,轮廓曲线会在新的外力场中继续演化,直到目标所有的边界都有轮廓曲线达到.

此外,文中还引入了一个边界停止函数.虽然部分轮廓曲线在原来的GVF场中已经收敛到目标边界,但在新的外力场中也会继续演化,向目标的内部边界演化.为了控制轮廓曲线的收敛问题,防止已经收敛到目标边界的轮廓曲线继续演化,文中利用边界停止函数,当轮廓曲线演化满足边界停止函数时,这部分轮廓曲线停止演化.结合示性函数和边界停止函数,就解决了传统外力场中因“平衡点”导致的过早收敛问题,能成功分割出目标的长凹形边界.

设演化轮廓曲线为C,在图像I(x,y)区域Ω上定义一个与演化曲线相关的示性函数：

(4)

定义一个新的边缘梯度图fC：fC=f⊗HC,它仅包含轮廓曲线内部的边缘梯度,轮廓曲线外部的边缘梯度定义为0.其中f是传统GVF模型中的边缘梯度图,通常有以下两种形式：

(5)

同时,定义一个新的动态外力场VC(x,y)：VC(x,y)=[uC(x,y),vC(x,y)],用新的边缘梯度图fC扩散生成此外力场,则相应的扩散能量函数为

(6)

式中,uCx、uCy分别为uC(x,y)关于x、y的偏导数, vCx、vCy分别为vC(x,y)关于x、y的偏导数.

由于示性函数是随着演化曲线而变化的.当轮廓曲线进行演化时,示性函数发生相应改变,使得边缘梯度图fC发生变化,用边缘梯度图fC扩散生成的向量场VC(x,y)也随之动态演变,因此,向量场VC(x,y)是一个动态的向量场.

运用变分法和梯度下降法对式(6)进行求解,可得到动态外力场的迭代方程：

(7)

为了控制轮廓曲线的收敛问题,需要定义一个边界停止函数Vstop.文中采用传统Snake模型的外力场VSnake作为边界停止函数,即

Vstop=VSnake

(8)

通常情况下,VSnake可以采用以下形式：

VSnake=f

(9)

(10)

其中ε为一个常数阈值.

结合动态力场和边界停止函数,动态梯度向量流模型的外力场可表示成如下形式：

V=(1-Hf)⊗VC+Hf⊗Vstop

(11)

当轮廓曲线还未演化到目标边界附近区域时,Hf=0,动态力场VC占主导作用,轮廓曲线继续向目标边界演化,直到分割出凹形边界;当轮廓曲线演化至目标边界附近区域时,1-H1=0,边界停止函数Vstop占主导作用,轮廓曲线在目标边界处收敛.

在文中模型中,初始轮廓线必须包含目标,且需要将初始轮廓线设置在目标的外部，不能设置在目标的内部或者内外交叉的位置.由于动态力场VC(x,y)是由轮廓曲线内部的边缘梯度扩散生成的,只有在轮廓曲线内部的目标边界对轮廓曲线才有吸引作用,即轮廓曲线在演化过程中只会收缩而不会扩张,因而需要将初始轮廓线设置在目标的外部,这样才能提取到目标的全部边界.

动态梯度向量流模型算法的具体步骤如下：

(1)初始化轮廓曲线在图像目标外部;

(2)计算边界停止函数Vstop;

(3)计算动态力场VC,并且合成外力场V;

(4)轮廓曲线在外力场V中演化;

(5)如果曲线已经收敛到目标边界,则目标边界为当前轮廓曲线,否则返回步骤(3).

3实验结果与分析

为了验证文中提出的动态梯度向量流模型的有效性,首先对目标包含长凹形边界的图像进行仿真实验,并与GVF、VFC和MAC模型进行比较;然后对目标包含复杂凹形边界的图像和噪声图像进行仿真实验;最后对真实图像进行仿真.由于MAC模型采用高维水平集的形式进行演化,演化过程中曲面不光滑,故在实验中不显示MAC的初始曲线和演化过程.图2显示了动态梯度向量流模型的外力场随轮廓曲线演化而变化的过程,图2(a)是原图和初始轮廓线,图2(b)是文中模型的演化过程.图2(c)是初始外力场,由于目标边界都在初始轮廓线内部,故此外力场与GVF外力场完全一样;图2(d)-2(f)是演化过程中的动态外力场,外力场随轮廓曲线演化而演化,示性函数使得轮廓曲线能往凹形边界收敛,边界停止函数使得轮廓曲线在目标边界停止演化.在每个演化阶段,目标凹形边界附近总存在外力使得轮圈曲线往凹形边界演化,直到曲线收敛到目标的凹形边界.

图2　动态梯度向量流模型的外力场Fig.2　External force fields of dynamic gradient vector flow model

文中模型的初始轮廓线必须包含目标,故需要将初始轮廓线设置在目标的外部.为此,文中对初始轮廓线在不同位置得到的分割结果进行比较,结果如图3所示.从图可知，无论初始轮廓线设置在内部,还是在内外部交叉的位置,轮廓曲线都无法准确收敛到目标边界.只有初始轮廓线设置在目标外部时,才能提取到目标的全部边界.在实际操作中,可以设置以图像长和宽分别为长轴和短轴的椭圆为初始轮廓线,或者以更大的、包含整幅图像的椭圆为初始轮廓线,这样初始轮廓线就能够包含目标.当初始轮廓线在图像外部区域(即不在向量场的作用范围内)时,让轮廓线向图像的中心收缩,直到收缩到图像内部区域(即在向量场的作用范围内),然后继续在向量场中演化.

3.1　合成图像的实验

对U形、十字架形和S形3个合成图像进行仿真实验,结果如图4所示.对于这些包含“凹形”边界的合成图像,由于在GVF场的“凹形”附近存在平衡问题,外力相互冲突,导致轮廓曲线过早收敛,缺乏足够的驱使轮廓曲线向凹形区域演化的外部力.VFC模型的分割结果比GVF模型稍好,但仍然存在“平衡”问题,无法完全分割出目标的凹形边界.MAC模型虽然能分割出目标的凹形边界,但分割结果的精度不高,S形图像的分割结果中出现双边界.文中模型能准确地分割出目标边界.

图4　目标包含凹形边界的实验结果Fig.4　Experimental results of objects with concave boundary

对于复杂“陀螺”图像,如图5(a)所示,GVF和VFC模型因“平衡”问题而出现过早收敛现象,无法分割出复杂的凹形边界;MAC模型能分割出目标边界,但轮廓曲线不够平滑.对于含有椒盐噪声的U形图像和含有高斯噪声的十字架形图像,由于MAC模型依赖边缘检测算子来定位目标边界,导致它将误检测到的噪声点作为目标边界,因而MAC模型无法准确地分割出目标边界.对于含噪声的U形图像(大小为64×64),边界凹陷没那么突出,平衡问题不是那么明显,GVF和VFC模型能分割出目标凹形边界;但对于含噪声的十字架图像,边界凹陷突出,GVF和VFC模型无法准确地分割出目标边界.无论是较复杂的“陀螺”图像,还是含噪声的U形图像和十字架图像,文中模型都能准确地分割出目标边界.

图5　复杂边界图像和含噪声图像的实验结果Fig.5　Experimental results of complex image and noise images

为验证文中模型的抗噪声能力,先对图6(a)所示的十字架原图像施加高斯、椒盐和斑点噪声，再采用动态梯度向量流模型分别对含噪声的图像进行分割实验,结果如图6所示.从图中可知，文中模型能准确地提取出含噪声图像中的目标边界.

图6　文中模型对含噪声图像的实验结果Fig.6　Experimental results of the noise image with proposedmodel

3.2　真实图像的实验

活动轮廓模型常被用于真实图像边界的提取,为了验证文中模型的有效性,采用该模型对U形枕头图像和猴子图像进行了仿真实验,结果如图7所示,并与GVF、VFC和MAC模型的分割结果进行了比较.枕头图像和猴子图像中都存在凹形边界,GVF和VFC模型都无法准确地提取目标边界.MAC模型能提取出枕头边界,因猴子图像中灰度区域不均质且存在一些杂质而无法分割出其目标边界.文中模型对猴子图像和枕头图像都能准确地提取出目标边界.这说明加入轮廓曲线的相关信息,可以有效地解决传统静态外力场模型因“平衡”导致的过早收敛问题.

图7　真实图像的实验结果Fig.7　Experimental results of real images

此外,还采用文中模型对医学图像进行仿真实验,并与基于水平集的CV模型和MAC模型进行了比较,结果如图8所示.医学图像分别为心脏、细胞和脑.这些医学图像存在弱边界、噪声或者像素区域不同质,基于水平集的CV和MAC模型都无法比较好的提取出目标边界.而文中提出的动态梯度向量流模型能比较准确地分割出目标边界.

最后,将文中模型与文献[9]模型的实验结果进行了比较,如图9所示.文献[9]模型是基于区域信息的活动轮廓模型,对灰度不同质的图像分割效果不理想,而文中模型是基于边缘信息的活动轮廓模型,受灰度不同质的影响很小,能够比较准确地分割出目标边界.

3.3　精度分析

为了进一步比较这几种模型的分割效果,文中采用Tanimoto度量(T)来量化这几种模型的分割精度，具体定义如下：

图8　医学图像的实验结果Fig.8　Experimental results of medical images

图9　文中模型与文献[9]模型的实验结果比较Fig.9　Comparison of experimental results by the proposed model and the model in reference [9]

(12)

式中,Sc为提取到的目标边界围成的区域,Sv为真实目标边界围成的区域,A(Sc∩Sv)为公共区域面积,A(Sc∪Sv)为总的区域面积.

对图7和8的分割精度进行量化,结果如表1所示.T值越大,说明分割精度越高.表1表明,文中模型的分割精度相比于其他模型更高(T值明显占优),对于GVF、VFC、CV模型无法有效分割的图像,文中模型也能获得很好的分割效果，说明了文中模型的稳健性较高.

表1　几种模型的量化分割精度比较Table 1　Comparison of quantitative segmentation accuracy among several models

4结论

基于传统的GVF模型,文中引入了示性函数和边界停止函数,提出了一种动态梯度向量流模型.该模型的外力场不仅与图像信息有关,而且与演化轮廓曲线信息相关,解决了传统静态外力场模型因“平衡点”导致的过早收敛问题.对合成图像和真实图像的仿真结果显示，文中模型能成功地分割出目标的长凹形边界,并对复杂目标边界有较好的分割效果.

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A Dynamic Gradient Vector Flow Model

ZhouZhi-hengZhongHui-qiangDaiMing

(School of Electronic and Information Engineering, South China University of Technology, Guangzhou 510640, Guangdong, China)

Abstract:Traditional active contour models based on the gradient vector flow can only produce static force field, in which the equilibrium problem often occurs and it causes a difficulty in the convergence of the contour curve to a long concave boundary. In order to solve this problem, a dynamic gradient vector flow model is proposed in this paper. In the model, first, a dynamic force field is generated by adopting an indicative function relevant to the evolving contour curve to weigh the edge gradient map. Then, the edge stopping function is employed to control the convergence of the evolving contour curve. The proposed model makes full use of the information of the evolving contour curve, and thus it avoids the premature convergence caused by the equilibrium problem of static external force field and pushes the contour to evolve to the concavity boundary. Simulation results show that, in comparison with the traditional models, the proposed model can segment the long concave boundary of the object successfully and achieves better segmentation results in extracting the complex boundary of the object.

Key words:image segmentation; active contour model; dynamic gradient vector flow

中图分类号：TP391.41

doi：10.3969/j.issn.1000-565X.2015.09.004

作者简介：周智恒(1977-),男,博士,教授,主要从事图像分析和自适应信号处理研究.E-mail： zhouzh@scut.edu.cn

*基金项目：国家自然科学基金资助项目(61372142);NSFC-广东省政府联合基金资助项目(U1401252);广东省科技计划项目(2013A011403003,2013B010102004);华南理工大学中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(2014ZG0037)

收稿日期：2015-01-01

文章编号：1000-565X(2015)09-0020-07

Foundation items： Supported by the National Natural Science Foundation of China(61372142),the Joint Fund of the National Natu-ral Science Foundation of China and Guangdong Province(U1401252)and the Science and Technology Planning Projects of Guangdong Province(2013A011403003,2013B010102004)