平等对待极坐标系

2015-02-17赵泽福赵燕春昭通学院数学与统计学院云南昭通657000

赤峰学院学报·自然科学版 2015年1期

关键词：圆锥曲线

赵泽福，赵燕春（昭通学院　数学与统计学院，云南　昭通　657000）

平等对待极坐标系

赵泽福，赵燕春
（昭通学院数学与统计学院，云南昭通657000）

摘要：遵循简洁明了原则，本文结合学生学习数学的实际，把极坐标系在高中教学大纲中的地位和极坐标系在中学数学中的作用进行对比，阐述了极坐标参照系的重要性.因此在中学数学中，我们应该把极坐标和平面直角坐标这两个参照系统平等对待.

关键词：极坐标系；平面直角坐标系；圆锥曲线；简洁明朗原则

极坐标系与其他坐标系（比如直角坐标系）一样，也是数学中确定平面上点的位置的重要的参照系统.在平面内取一个定点O，从O点出发作一条水平向右的射线OX，并规定长度单位和转角的正方向，这样就构了极坐标系.

极坐标系是一个单纯的二维系统，该系统中任意点P的位置均可由P相对于极点O的距离ρ和一个OX逆时针转至OP的转角θ组成的有序数对(ρ,θ)来表示.其应用的范围十分广泛，数学、物理、工程、航海、航空等领域都用得上.简单地说，极坐标系就是利用“方向”和“距离”来表示平面上点的位置，这一数学思想也是非常贴近学生的生活实际的.

极坐标系中曲线与方程的关系与学生非常熟悉的平面直角坐标系中曲线与方程的关系有些不同，原因在于一个确定的点P的极坐标具有多样性，即点P与有序实数对(ρ, θ)不具有一一对应关系，而是与无数个有序实数(ρ,θ+2kπ)或(-ρ,θ+(2k+1)π)对应.这与平面直角坐标系不同，但不影响极坐标系的应用价值，毕竟平面上两个不同点A,B的极坐标是不同的，这就是极坐标作为一种有效的参照系统的原因吧.

高中数学考试大纲对极坐标的要求过低，在加上课时上的限制，实施新课程的多数省市都将本专题作为选学选考内容.因此多数师生都不重视，从而把极坐标系边缘化，学生只知道直角坐标系而不知还有其他坐标系.

对于同一个数学运动问题来说，参照系的选择原则上是任意的，但参照系的不同对问题研究的难易程度有很大的影响，具体表现之一为计算上的冗简程度.优化计算是学好数学的重要必备能力，同时也是学生喜欢数学的一大障碍.教师要重视引导学生：在解题运算过程中注意运算的合理性、简洁性、准确性.因此能达到这一要求的解题途径，才算得上最佳的解题途径.

我们选择参照系统时要遵循简单、方便、可行的原则，并掌握极坐标和直角坐标各自的特点和能够包含的信息.极坐标使用极距和极角，直角坐标则包含到两坐标轴距离等信息，其多适于解决函数问题.极坐标参照系统和直角坐标参照系统描述同一运动问题时有异曲同工之妙，但在繁简程度方面却有迥异.所以在研究点的运动问题时，这两个系统应该平等供我们选择.当然选准恰当的参照系统以后，还要注意必须建立合适的坐标系，这才有效优化我们的解答路径.

圆锥曲线是历年高考的必考的重点内容之一，关于圆锥曲线试题,多数是综合题,在高考中常处于压轴题的位置,并且题型变化灵活,目的是考查学生的数学综合能力.不过有些平面几何及圆锥曲线问题如用极坐标法，不仅解决问题的思路简便，而且运算过程非常简化.现例举如下：

1　有关圆锥曲线焦点弦长度问题

以焦点F为极点，过F垂直于准线l的射线为极轴建立极坐标系，得圆锥曲线的极坐标方程统一为其中p是焦点F到准线的距离，运用此方程并结合ρ和θ的几何意义解决椭圆（01）、抛物线（e=1）的有些焦点弦问题堪称干净利落.

例1（2010全国卷1文理数（16））已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF=2FD，则椭圆C的离心率e为_________.

图1　

解析很多高中教师都认为：此题作为客观题还是稍微难了点.方法一、考生的习惯解法为，作DD1⊥y轴于D1，由BF=2FD得，，所以即，由椭圆的第二定义知：又由BF=2FD得a=2，即a2=3c2，所以

如果我们采用圆锥曲线的极坐标统一方程，情况又如何呢？方法二、，由BF=2FD得又如图易知，则整理①得=2，即3e2=1，所以e=.明显感觉到方法二比方法一简洁明朗些！

由此可以看出：在处理圆锥曲线某些涉长度的焦点弦问题时，采用极坐标参照系把问题化归为关于极角θ的三角函数问题，处理起来是要方便一些.

2　有关椭圆、双曲线中心弦和抛物线顶点弦问题

此时以椭圆、双曲线中心或抛物线顶点为极点O，以圆锥曲线的一轴为极轴建立极坐标系.令x=ρcosθ，y=ρsinθ把平面直角坐标系方程换算成极坐标方程，从而使得解题过程出乎意料的明朗快捷.

图2　

解析作为特殊情况，当l1、l2分别为x轴、y轴时，⑴显然成立，但在一般情况下设l1方程为y=kx，则l2方程为，把这两方程代入椭圆方程解出A、B、C、D的坐标，再由两点间距离公式求出|AB|、|CD|，然后将|AB|、|CD|代入⑴左边化简即得证.

问题⑵,由于四边形ABCD面积S=|AB|•|CD|，则问题变成一个关于k的无理式的最值问题.

这样做不但要解两个方程组，而且还要涉及无理式的化简、求最值等，这两份工作都是学生不情愿做的（当然万不得之时这两份工作也得做）.

不妨在极坐标下：令x=ρcosθ，y=ρsinθ椭圆方程化为，设，又A、B∈椭圆，则，由于椭圆是中心对称图形，则⑴左边==⑴右边.得证

若在极坐标下，问题⑵即为一个关于θ的三角函数最值问题.当然处理关于θ的三角问题就比处理关于k的无理式问题要容易一些.

3　有关平面几何线段运算问题

解决此问题的手法是多样的.如果是线段的加减法运算，多数学生都会采用平移、对称、旋转等手段来解决；如果是线段的乘除运算，我们采用相似变换等手段来解决；如果是加减乘除混合运算呢？问题就相对复杂些了.当然解决此问题的方法之一是：选择适当点为极点、适当的射线为极轴建立极坐标系，就可把线段的加减乘除混合运算问题转化为极角θ的三角函数运算问题.从而使问题明朗化、简洁化.

例3已知是正三角形ABC外接圆O的BC上任意一点，半径为r.试求PA2－PB•PC的值.