Schrödinger型算子与新BMO函数的交换子的极大算子在L空间上的一个估计

2015-02-16白莉红

安阳师范学院学报 2015年5期

关键词：常数算子甘肃

白莉红

(甘肃建筑职业技术学院基础课部，甘肃兰州 730050)

Schrödinger型算子与新BMO函数的交换子的极大算子在L空间上的一个估计

白莉红

(甘肃建筑职业技术学院基础课部，甘肃兰州 730050)

二进 Sharp 极大函数定义为

Schrödinger 算子；交换子；反向 Hölder 不等式；Sharp 极大函数:BMOV(Rd)

1 引言及结果

(1.1)

把满足 (1.1) 式的函数的集合记作RHq. 与Schrödinger算子L相关的算子半群定义为

Tt，f(x)=e-tLf(x)=∫Rdkt(x,y)f(y)dy,f∈L2(Rd),t>0.

(1.2)

其中 kt(x,y)为r-tL的核.

我们首先给出一些记号和定义.

(1.3)

易知 ρ(x)>0, 且对任意 x∈Rd，ρ(x)≥0有限[4]. 关于ρ(x), 我们有下面估计.

命题1[5]存在常数c和k0≥1 , 使得对x,y∈Rd, 成立

(1.4)

特别地,当y∈Br(x), 且r≤ρ(x)时,有ρ(x)～ρ(y).

(i)∪kQk=Rd;

(ii)存在N=N(ρ), 使得每一k≥1, 有card{j:4Qj∩4Qk≠Ø}≤N,其中Qk:={|x-xk|<ρ(xk)}.

定义1 BMOV(Rd)空间定义为:

-fB|dx<∞.

(1.6)

显然有BMO(Rd)⊂BMOV(Rd), 当V=0或α=0时,BMO(Rd)=BMOV(Rd)若存在常数C0>1使得任意球B*⊂2B, 有

ψ(B*)≤A0ψ(B)

(1.7)

则称ψ满足D∞条件.

(a) T 可扩展为L2(Rn)上的有界线性算子.

(1.8)

(1.9)

(1.10)

在证Lp有界性的过程当中C-Z算子的光滑条件(1.9)起了重要的作用.但由于位势V的缘故这里的核不具有这样的光滑条件,但我们可以通过另外一种光滑性条件来证明Lp有界性.

定义4 二进Sharp极大函数定义为

本文主要结果如下：

定理设 T 是 C-Z 算子，对任意s>1, 有

2 定理的证明

为证明定理, 需要以下引理:

引理1[5]假设V∈RHq, 则有

‖(-Δ+V)-1Vf‖p≤Cp‖f‖p;

对p0'≤p<∞，有

记Γ(x,y,τ)是Schrödinger算子

-Δ+(V(x)+iτ),τ∈R的基本解. Γ0(x,y,τ)是算子-Δ+iτ,τ∈R的基本解.易知Γ(x,y,τ)=Γ(y,x,-τ), 关于Γ(x,y,τ)有以下引理:

Γ(x,y,τ)≤

其中Ck是与x,y,τ无关的常数.

引理4[5]假设V∈RHq0,q0>1,假设对某x0∈Rn,R>0,在B(x0,2R)上成立

-Δu+(V(x)+iτ)u=0.

则有

(i)对x∈B(x0,R),

(∫B(x0,2R)|

命题3 令m>1, 假设对∀p∈(m′，∞),T是Lp有界的,K满足Hm条件, 则∀b∈BMOV,[b,T]是Lp有界的, 且

‖[b,Tf]‖p≤Cp‖b‖BMOV‖f‖p

定理的证明：对任意的λ, 有[b,T]f(x)=(b(x)-λ)Tf(x)-T((b-λ)f)(x)

-T((b-λ)f)(y)-D|dy

=I+II+III

≤Cψ(B)‖b‖BMOVMr(Tf)(x).

对于II, 利用Kolmogorov不等式得

≤Cψ(B)‖b‖BMOVMr(f)(x).

-bB(x,2k+1)||f(ω)|dω

-bb(x,2k+1)|∫B(x,2k+1)|f(ω)|dω

≤Cψ(B)‖b‖BMOVMs(f)(x).

由于ψ(B)<1, 由极大函数的性质得

≤C‖b‖BMQVMs(f)(x)

+C‖b‖BMQVMs(Tf)(x).

对于第二部分, 由Hölder不等式和Kolmogorov不等式得：

-T((b-λ)f)(y)|dy

≤C‖b‖BMOV(Ms(Tf)(x)+Ms(f)(x)).

综上得

定理证毕.

[1]Dziubański J, Zienkiewicz J. Hardy space H′ assocoiated to Schrädinger operators with potential satisfying reverse Hälder inequality[J]. Rev. Math. Iberoam., 1999, 15(2):279-296.

[2]Dziubański J, Zienkiewicz J. Hpspaces assocoiated with Schrädinger operators with potentials from reverse Hälder classes[J]. Colloq. Math., 2003, 98(1):5-38.

[3]Dziubański J, Garrigós G, Martínez T, Torrea J, Zienkiewicz J. BMO spaces related to Schr?dinger operators with potentials satisfying a reverse H?lder inequality [J]. Math. Z., 2005, 249(2):329-356.

[4]Bongioannia B, Harbour E, Salinasa O. Weighted inequalities for negative powers of Schrädinger operators～[J]. J. Math. Anal. Appl., 2008, 348(1):12-27.

[5]Shen Z V. LPestimate for Schrädinger operators with certain potentials [J]. Ann. Inst. Fourier, 1995, 45(2):513-546.

[6]Zhong J., Harmonic analysis for some Schrädinger operators [D], Ph.D.Thesis, Priceton University, 1993.

[责任编辑：Z]

L Estimate for Maximal Operators of Commutators Associated to Schrödinger and New BMO Functions

BAI Li-hong

(Gansu Institute of Architectural Technology, Lanzhou 730050, China)