黄惠玲

(福建船政交通职业学院 公共教学部,福建 福州 350007)

单半环的若干性质

黄惠玲

(福建船政交通职业学院 公共教学部,福建 福州 350007)

探讨了单半环,获得关于单半环的若干等价性质,同时刻画了单半环及加法幂等半环的几个子半环.

半环;单半环;加法幂等半环

0 引言和预备知识

在半环理论中,半环结构是一项重要的研究内容,单半环、幂等半环是半环结构研究的枢纽.近年来,有许多文献致力于单半环、幂等半环的研究.Bashir,R.El等人在文献[1]刻画了有限交换半环是同余单半环的充要条件,在文献[2]中讨论同余单半环;刘国瑞和李勇华在文献[3]讨论了加法完全单半环上的同余和同余格.本文主要讨论R是单半环的一些等价条件,同时刻画了单半环的几个子半环.

定义1[4]设R是一非空集合.如果在R中定义两个代数运算“+”与“·”且满足

1)(R,+,0)是一个交换幺半群,其中0为R的加法恒等元;

2)(R,·,1)是一个幺半群,1为R的单位元;

3)∀x,y,z∈R,均有x(y+z)=xy+xz,(x+y)z=xz+yz;

4)∀x∈R,0x=x0=0;

5)0≠1.

则称R为半环,记为(R,+,·,0,1)或简记作R.

定义2[4]设L是半环(R,+,·,0)的非空子集.如果1)0∈L;2)(L,+,·)作成有零元的半环,则称L为R的子半环.

定义3[4]设I是半环R的非空子集,如果1)0∈I;2)∀x,y∈I,a∈R,均有x+y∈I,ax,xa∈I.则称I为R的理想.

定义4[4]若半环R只含R与{0}两个理想,则称R为单半环.

由单半环的定义可得R为单半环当且仅当∀x∈R,有x+1=1.

定义5 设(R,+,·)是半环.如果∀x∈R,有x+x=x,则称R为加法幂等半环.

显然,若R为单半环,那么R也是加法幂等半环.因为∀x∈R,有x+1=1,所以1+1=1,因此a+a=a(1+1)=a·1=a,所以R是加法幂等半环.

定义6 设(R,+,·)是半环.如果∀x∈R,有x2=x,则称R为乘法幂等半环.

定义7 设R是单半环,∀x,y∈R,∀n,m为非负整数,我们定义……