刘忠东

(井冈山大学 数理学院 数学系，江西 吉安 343009)

1 问题的提出

对数学进行理解性的学习，在大家看来，已然成为常识了。但是如何进行数学理解性学习，［1］有众多学者从不同的角度来进行论证。并且在实际的教学过程中，有众多的教师根据不同的学习理论，制定了一系列的不同方式方法使学生理解数学学习。在这个学习过程中，教师、学生都把“是否理解了，是否懂了”作为衡量数学学习效果优势的重要标尺。但是，学生学习数学的过程中仍存在机械学习等状况，这就需要我们对数学理解的内涵进一步明晰。

纵观整个数学的发展过程，数学就是我们认识世界而得来的产物。要对数学的理解，我们必须要追寻整个世界，如何理解整个世界，或者说把数学理解放回到这个世界中，把数学知识、思想、方法与世界的认识结合起来。也就是说，让学生以当时数学知识产生的社会背景为出发点，很好地理解数学本来的面貌。

作为21 世纪的一种数学教育现象，如图1 所示，就是把数学赋予在社会文化背景下理解这种数学化的趋势使得对数学理解有着更为广泛的社会文化意义。社会文化正在朝数学方向上逐步走向统而数学社会化的程度正是推动社会进步的重要指标。在社会文化视角［2］下的数学是一种深层次的数学认识论和数学方法论，是重构数学知识观和数学文化观，是一种理解数学的深刻视角。

图1

2 数学理解是一个复杂的社会文化和认识发展过程

长久以来，数学给人们的一个最大的特点就是它的高度抽象性。自从古希腊开始，它层次分明、概念清晰、结构严谨、容不得半点似是而非，这些在欧几里得的《几何原本》当中，都可以见到，已经形成了一个完美的逻辑演绎体系。人们早已把数学的特征归结为具有抽象、形式化、符号化。［5］由此，对数学的学习就视为从理解与背记定义、公理、定理到应用其去进行证明、推理与计算，然而这是对数学本质的曲解与片面理解。

对于数学的发展，与其时代的文化背景是休戚相关的，也会随着社会文明的兴衰而荣枯。由于罗马人的实用主义、中世纪基督教的神秘主义，都阻碍了知识的进步，扼杀了创新精神，都无法使数学在这种社会文化环境中蓬勃发展，结出累累硕果。文艺复兴，被克莱因成为“数学精神的复兴”。［7］欧洲人继承了自然界具有数学设计的思想，相信理性可以应用于人类的所有活动，一旦人们掌握了理性精神，西方文明就诞生了。射影几何是从达·芬奇的透视理论中诞生的数学，牛顿的数学成就及其思想与这三方面有关:科学和哲学、宗教、文学和美学。17、18 世纪的数学为几乎渗透到所有文化分支中的理性精神注入了活力。从这个角度来看，数学理解应当把数学知识与其时代的社会文化背景相结合，而不是认为数学是与抽象、符号、公式等打交道的一门科学。

基于社会文化的视角，对数学的理解可以看成是对社会文化的理解，这种对数学理解的追求主要表现为对社会与自身的双重理解，并在这种追求的过程中获得自身的超越与发展。纵观数学发展的历史，可以从古希腊的毕达哥拉斯学派的基本信条“万物皆数”说起，他们认为“一切都可以归结为整数及整数比”，根据勾股定理，边长为1 的对角线之长都不能表为整数的比。这样以来，毕达哥拉斯学派“万物皆数”的信条受到了冲击，当时希腊人对待这次危机的态度不是积极地区解决它，而是想方设法回避它，极力掩盖事实。终究纸是包不住火，危机很快被大家所了解。人们致力于解危机。不过这一危机不是局部的，而是全局的;不是表面的，而是本质的，并不那么容易解决。经过了两千多年以后，人们认识了实数系，对数系进行扩张，这次危机才算彻底解决了。这一历程恰恰充分说明了随着社会文化的发展，数学内部的探索推动了整体数学的不断发展。又例如，芝诺悖论之一——阿基里斯追不上乌龟，［6］从数学角度来分析这个悖论的症结在于无限段长度的和，可能是有限的;无限段时间的和，也可能是有限的。芝诺故意把有限的路程用他的那种说法巧妙地分割成无穷段路程，让人产生一种错觉，以为是永远追不上。他当时如此尖锐地提出“空间和时间是离散还是连续”的问题，引起人们对此长期地讨论。历经微积分的起源，对微积分基础的严格化探索，在柯西、魏尔斯特拉斯等人工作的基础上，戴德金创造了戴德金分割对实数进行严格化分析的方法，“标志着分析严格化的大体完成。”在这一个逐步的、漫长的过程中，数学内部不断地加以调整和修正的，并受到当时社会文化的影响，都充分显示出在数学理解上的不断发展以及敢于超越自我的信心和事实，同时促进人类认识的发展。

我们把数学理解定位在一个社会文化的背景下，如图2 所示，在数学知识的发生过程中，无论从数学知识的来源、传播、交流、应用和评价等各个层面，社会因素都始终是一个不可忽视的纬度。例如变量数学亦即近代数学的诞生，由于文艺复兴以来，资本主义生产关系从萌芽到发展壮大极大地推动了生产力的发展，对科学技术提出了更多的要求;全球性的资本掠夺促使航海事业的快速发展，而测定航海位置则要求准确滴研究天体运行的规律;掠夺与扩张需要武力，武器的改进引发对弹道问题的探讨，等等。这些问题的解决，反应静止关系的初等数学已经不能满足要求，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题。

图2

在各种社会现象中，都存在数学的规律、结构和关系，数学知识不再被看成是静态的、确定性的客观真理性知识的汇集。例如在生活中见过的渔网或者用绳索编织的其他某种网。网，可以是多种多样的，纷繁复杂的。但是，它们全部满足同样的规律:V+F－E =1，其中V 表示结点数，F 表示网眼数，E 表示边数。把这个规律拓展到三维情形，就是多面体的欧拉公式:V +F－R =2。这里V 表示凸多面体的顶点数，F 表示凸多面体的面数，E表示凸多面体的棱数。数学的思想、方法、对象在社会生活中都有所体现。例如“化归”方法，这是数学工作者解决问题重建的思路和方法。一个浅显的例子“烧水”，把“化归”的数学方法解释得非常明白。作为数学共同体的成员，都是社会的一分子，都要把它所处时代的各种观念、价值判断带到数学研究中去。例如射影几何学的产生，由于描绘现实世界的需要以及写实主义，使得艺术家们对数学产生了兴趣。为了精确、逼真的绘画，文艺复兴时期的艺术家们从科学上对透视问题进行研究，而几何是解决这一问题的关键，此时他们是最优秀、最博学、多才多艺的实用数学家和理论数学家。艺术家们在发展聚焦透视体系的过程中，引入了新的几何思想。通过透视学的研究，譬如德沙格等数学家从艺术向高深的富有创造性的数学研究迈进。从上述可以看到，数学产生时的社会背景、文化背景、数学与社会生活的联系以及数学发展的动态历程，都须从社会文化层面上来理解数学。

3 学习者、数学理解与社会文化三者的互动关系

能够有力促进学习者对数学理解，结合社会文化背景，把这三方面加以整合，图3 表明了学习者、数学理解与社会文化三者的互动关系。对于学习者来说，数学理解主要是通过感悟获得数学知识，对内蕴于数学知识深处的社会文化力量、社会文化魅力、社会文化精髓的感悟，必须建立在学习者对相关知识及其境脉的深刻理解的基础上。

图3

弗登塔尔曾说过:“数学是系统化的常识……数学的根源在于普通的常识。”［3］因此，可以说理解数学是理解系统化的常识(或经验)。在科学技术以及社会文化生活的一切领域，一切过程都有数学的出现及其应用。在未来的社会中，数学如同工具一样，已经成为人们所必备的“藏身之物”。因而，每个人不但应当具有基本的数学知识与数学思想方法，还应当具有一种用数学的意识以及一种基于数学去思考问题的眼光，更应具有一种不断学习数学、理解数学的学习意识与发展诉求。数学是一项社会活动，因此理解数学要从个体已有经验出发，扎根并溯源于现实世界，理解数学符号、数学命题、数学方法、数学问题和数学语言等知识性成分的社会文化特征。例如，假设有一条稳定流淌的小溪，先后把两片相同的树叶放在起初相同的位置上，发现树叶漂流的情况一开始是两次几乎完全一样，但越到后面差别越大，到了某个距离以外完全不同了。这个现象在我们现实生活中经常遇见的一个通俗例子。较为深层的现象，就是美国气象学家洛伦兹在天气预报中发现的混沌现象，并给出了这个现象具有两个重要特点:一个是对初值极端敏感，另一个是“解”不是完全随机的。他为了说明第一个特点，说过一句话:巴西的蝴蝶扇一下翅膀，可能会引起几周之后在美国德克萨斯州有一场风暴。这就是所谓天气的“蝴蝶效应”。［4］既便洛伦兹用了通俗的话语来解释“对初值极端敏感”，也无法让学习者体会其本质。虽然客观世界普遍存在混沌现象，但学习者必须从这些现象中，建立数学模型，抓住事物的本质，揭示事物的规律，才能深深体会混沌的特点及规律。反过来，把对混沌的理解及研究回到现实生活中，比如癫痫病治疗、对远期天气预报的再认识、通讯中的保密、经济理论、交通管理等，为研究自然界的复杂性和更深刻的规律开辟了一条道路，也从更广泛的角度认识了客观世界。因此，数学是一种特殊的社会文化，社会文化是内蕴于数学体系中的精髓。由此，一种以社会文化的视角来理解具体的数学知识、方法、技巧与思想等，才能理解数学在当今社会中的地位与作用。

在社会文化背景下对数学的理解，对数学的感悟，都需要有专业的数学教师，要促进教师的数学观念［8］不断提升。如今，很多社会招聘，无论是企业还是学校，都越来越多地涉及到数学领域，考察社招人员的数学理解能力。由此可见，数学教师的社会责任重大，他们必须要对数学的热爱，结合社会文化这种大环境，引导学习者如何认识数学、理解数学以及感受数学，让学习者觉得数学在社会这个大家庭中好玩，领悟数学中的文化。

［1］吕林海. 数学理解性学习与教学:文化的视角［M］. 北京:教育科学出版社，2013.

［2］黄秦安，曹一鸣. 数学教育原理——哲学、文化与社会的视角［M］. 北京:北京师范大学出版社，2010.

［3］张维忠，顾泠沅. 数学教育中的数学文化［M］. 上海:上海教育出版社，2011.

［4］顾沛. 数学文化［M］. 北京:高等教育出版社，2008.

［5］邓东皋，孙小礼，张祖贵. 数学与文化［M］. 北京:北京大学出版社，1990.

［6］李文林. 数学史概论［M］. 北京:高等教育出版社，2000.

［7］克莱因. 西方文化中的数学［M］. 张祖贵，译. 上海:复旦大学出版社，2004.

［8］刘忠东.《数学课程与教学论》课堂的主体性分析和教学模式构建［J］. 宜春学院学报，2012，34(12):142－145.