林才雄，吴康

(华南师范大学数学科学学院，广东广州510631)

三元轮换对称多项式的基本定理及其应用

林才雄，吴康

(华南师范大学数学科学学院，广东广州510631)

对三元轮换对称多项式的基本定理进行严谨的数学证明，采取了数学归纳法和构造法，得出的主要结果及结论：1、突破了三元轮换对称多项式的基本定理的计算机算法的证明，通过数学归纳法和构造法给出了严谨的数学证明；2、初步给出了三元轮换对称多项式的基本定理在一类计算三元轮换对称多项式值的应用.

三元轮换对称多项式；构造法；数学归纳法

0 引言

我们知道关于n个变元x1，x2，…，xn，若记则称σ1，σ2，…，σn是关于n个变元x1，x2，…，xn的初等对称多项式.在高等数学里，关于对称多项式有一个非常重要的定理，就是对称多项式的基本定理，该定理说明了任何一个对称多项式都可以唯一的表示成初等对称多项式的多项式.

那么对于轮换对称多项式，是否也跟对称多项式一样，存在这样的性质呢？在参考文献[2-4]中提出了猜想，即在轮换对称多项式中，对称多项式基本定理还是适用的，只不过需要引入一些轮换对称式进行扩充.

本文对三元轮换对称多项式进行了研究，给出了关于三元轮换对称多项式的基本定理的纯数学证明及其在计算三元轮换对称多项式值的初步应用.

1 三元轮换对称多项式的基本定理及其证明

定义1（三元轮换对称多项式）若关于变元x，y，z的多项式f（x，y，z）是数环R上的一个三元多项式，且满足关系f（x，y，z）＝f（y，z，x）=f（z，x，y），则称多项式f（x，y，z）是关于变元x，y，z的三元轮换对称多项式.

例如，f（x，y，z）=x2y+y2z+z2x是整数环上的一个三元轮换对称多项式.

定理1[1]（对称多项式基本定理）数环R上的每一个n元对称多项式f（x1，x2，…，xn）都可以表示成初等对称多项式σ1，σ2，…，σn的系数在R中的多项式，并且这种表示法是唯一的.

定理2（三元轮换对称多项式基本定理）关于变元x，y，z在数环R上的任一三元轮换对称多项式f（x，y，z），都可以表示成三元初等对称多项式σ1，σ2，σ3外加一个轮换对称式的系数在R中的多项式，即可以用

表示出来.我们称（*）式为三元初等轮换对称式.

证明：我们对f（x，y，z）的次数n进行数学归纳法.

则令

即可；

（2）假设命题对f（x，y，z）的次数n≤k-1，k≥4，k∈N时成立，则当次数为n=k时，

下面，我们分两种情况来讨论：

①若α1-α2≥α2-α3，则令

此时有，ρ1（σ1，σ2，σ3，σ31）的最前项为

②若α1-α2＜α2-α3，则令

此时有，ρ1（σ1，σ2，σ3，σ31）的最前项为

故总有f1（x，y，z）=f（x，y，z）-ρ1（σ1，σ2，σ3，σ31）的最前项被消去，同样地，我们对多项式f1（x，y，z）继续上述步骤，则经过有限步之后，存在某个多项式fm（x，y，z）=fm-1（x，y，z）-ρm（σ1，σ2，σ3，σ31），m∈N+是k-1次的，于是，由归纳假设可得，存在多项式h（x，y，z，u），使得

所以，f（x，y，z）表示成关于σ1，σ2，σ3，σ31的多项式.即命题对n=k时也成立.

故根据①、②，由数学归纳法，可知：

关于变元x，y，z在数环R上的任一三元轮换对称多项式f（x，y，z），都可以表示成三元初等对称多项式σ1，σ2，σ3外加一个轮换对称式的系数在R中的多项式，即可以用表示出来.

2 在计算一类三元轮换对称多项式值的应用

例1、将f（x，y，z）=x13x2+x23x3+x33x1用表示出来.

解：由题设知，α1＝3，α2＝1，α3＝0，∵α1-α2＞α2-α3故令ρ1（σ1，σ2，σ3，σ31）＝σ1σ3，则

于是f（x1，x2，x3）=f1（x1，x2，x3）+ρ1（σ1，σ2，σ3，σ31）＝σ1σ31+σ1σ3-σ22.

例2、设x3-2x2+x-3=0的三个根分别为x1，x2，x3，求值：

（1）f（x1，x2，x3）=x12x2+x22x3+x32x1；

（2）f（x1，x2，x3）=x13x2+x23x3+x33x1；

[1]张禾瑞，郝鈵新.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2007：91-96.

[2]刘保乾.不等式研究的几个新结论和新问题[J].嘉应学院学报：自然科学版，2008，26（6）：19-26.

[3]刘保乾.多项式的一般表示式及其应用[J].广东教育学院学报，2010，30（3）：17-24.

[4]何灯.轮换对称多项式的通式的构造及初等轮换式的自动发现[J].佛山科学技术学院学报：自然科学版，2011，29（1）：36-42.

Fundamental Theorem of the Ternary Rotation Symmetric Polynom ials and Its Applications

LIN Caixiong，WU Kang
（College of Mathematical Science，South China Normal University，Guangzhou 510631，Guangdong，China）

A strict mathematical proof of the fundamental theorem of the ternary rotation symmetric polynomials is given.Two main results and conclusions are drawn through the adoption of mathematical induction and construction law.Firstly，the proof of the fundamental theorem of the ternary rotation symmetric polynomials through computer simulation algorithms is improved and replaced by a rigorous mathematical proof using mathematical induction and construction law.Secondly，an application of the fundamental theorem of the ternary rotation symmetric polynomials in computing the value of ternary rotation symmetric polynomials is presented.

ternary rotation symmetric polynomials；construction law；mathematical induction

O 122.1

A

1001-4217（2015）01-0030-05

2014-08-15

林才雄（1990-），男，广东省惠来县人，硕士研究生．E-mail：1002101656@qq.com