童立言

千百年来，勾股一直是个很奇妙的问题. 勾、股，为直角三角形的两条直角边，而弦，则为直角三角形的斜边，则有“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得斜至日”，即为“勾股定理”.

通过本次活动，我对常见的勾股数进行仔细观察，大大激发了对勾股数研究的兴趣，也发现了勾股数一些内在的规律. 这些规律可以帮助我们迅速辨别一组数是否勾股数，省去很多复杂的计算，真的好神奇哟！

现在我将本次活动中发现的规律整理出来和大家一起分享：

1. 勾股数中的三个数不能全是奇数.

2. 勾股数里的三个数要么全是偶数，要么只有一个偶数（即不可能出现只有两个偶数的情况）. 奇数的平方为奇数，偶数的平方为偶数，而奇数+奇数=偶数，因此当两条直角边都为奇数时，斜边为偶数，当两条直角边都为偶数时，斜边为偶数，当两条直角边为一奇一偶时，斜边为奇数.

勾股的奇妙之处还不仅仅在于此. 若有x=m2-n2，y=2mn，z=m2+n2，则此三个式子可组成一个勾股数生成器，理由一试即知.

（m2-n2）2+（2mn）2

=m4+n4-2m2n2+4m2n2

=m4+n4+2m2n2

=（m2+n2）2.

完全满足x2+y2=z2的形式.

所以，在这三个式子中，m、n各任取一正整数（m>n），一组勾股数就会诞生. 举一例：若m=2，n=1，则经典的“3，4，5”就出现了.

当然，其奇妙之处远远不止如此. 勾股定理的证明多种多样，从《几何原本》的证明到《九章算术》的证明，各有千秋. 另外，人们从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率，无理数也从此被人们发现. 它还被用在“最短距离”“三维空间”等方面，各个领域皆有涉及.

（指导教师：唐夏云）