李雷生，陈绪明

（1.重庆市设计院，重庆400015；2.成都市交通发展研究院，四川 成都610017）

0 引言

拱桥是作为主要承重结构的桥梁，及时准确地评估其安全性，对于桥梁的正常使用意义重大。拱桥安全性评价方法一般分为定性、定量、定性与定量相结合三类。基于MATLAB 的层次分析法，是一种定性与定量相结合的方法，本文采用此方法计算安全性评价指标的分层次权重，求得各影响因素对大跨度钢管混凝土拱桥安全性的影响程度。

1 层次分析法

层次分析法（Analytic Hierarchy Process 简称AHP）是一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。本文主要从评价模型的建立、构建判断矩阵、对安全性指标进行相对重要性排序3个方面介绍此方法。

1.1 拱桥安全性AHP评价模型建立

大跨度钢管混凝土拱桥的安全性影响因素很多，该评价模型的建立应适合桥梁结构特点及施工过程，将专家分析与现场采样观察、案例分析结合起来，以拱桥自身的承载能力、动力特性和外观为对象，对拱桥安全性的综合指标进行深入的分析和研究，建立大跨度钢管混凝土拱桥安全性评价模型，如图1所示。

图1 大跨度钢管混凝土拱桥安全性评价模型

1.2 用指数标度法构建判断矩阵

在建立指标体系的递阶层次结构后，从最上层开始，从上往下依次以上一层的元素为依据，对下一层中与之相关的元素进行两两比较，构建判断矩阵。本文采用一种新的指数标度来构建判断矩阵，将判断等级分为同等重要、稍微重要、重要、明显重要、强烈重要、极端重要6 个等级。Satly 在数字上的判断极限为9，应有a8=9，即a=1.3161（注：a以上的值均记为9），由此可以给出指数标度表，如表1[4]所示。

表1 相对重要性的指数标度

1.3 对安全性指标进行相对重要性排序

1.3.1 一致性检验

在进行相对重要性判断时，不可能完全准确地判断出各级指标之间的重要性关系，而只能进行估计，势必会导致判断矩阵特征值的偏差，因此，必须进行一致性检验。

根据AHP原理，可以利用λmax与n之差检验一致性。定义计算一致性指标为：

式中：λmax为判断矩阵A的最大特征值。

在检验判断矩阵A的一致性时，当λmax=n时，CI=0，表示完全一致；CI值越偏离0，表明判断矩阵的一致性越差。

为了度量不同阶数的判断矩阵是否具有满意的一致性，引入CI 和同阶平均随机一致性指标RI之比CR，CR为随机一致性指标。1～10 阶判断矩阵的RI 值如表2所示。

表2 1~10阶判断矩阵的RI值

当CR ＜0.1 时，认为判断矩阵具有满意的一致性；如果CR ＞0.1，需要调整判断矩阵，使之有满意的一致性。

1.3.2 层次单排序

在判断矩阵通过一致性检验，即符合完全一致或者具有满意的一致性后，计算出判断矩阵的最大特征根及其相应的特征向量。计算最大特征根及其特征向量常用的方法有方根法、和法、最小二乘法等。为了便于求解，本文采用引入MAT⁃LAB中计算特征根与特征向量的函数eig。

1.3.3 层次总排序

由以上过程，沿着递阶层次结构，从上往下，逐层计算出各判断矩阵的特征根与特征向量，以此为基础，进行层次总排序计算，得出最低层因素相对于最高层的相对权重。层次总排序的计算方法见表3。

表3 层次总排序的计算公式

同样，也需要对总排序结果进行一致性检验。这也是从高到低逐层进行的，A层次单排序一致性检验即为层次总排序一致性检验。对于B 层，随机一致性指标为：式中：CIi为以Ai为准则，B层相关元素比较组成的判断矩阵的一致性指标；RIi为以Ai为准则，B层相关元素比较组成的判断矩阵的平均随机一致性指标。

类似地，当CR＜0.1 时，可认为层次总排序结果具有满意的一致性，否则需要重新调整判断矩阵的元素值。

2 MATLAB软件

MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，是一款由美国The MathWorks 公司出品的商业数学软件。它用直观的、符合人们思维习惯的代码来实现语言简单、代码开放、格式灵活等强大的功能，被称为第四代编程语言。同时，MAT⁃LAB还具有数值运算功能强大、先进的资料视觉化功能、高阶但简单的程序环境、开放及可延伸的架构、丰富的程式工具箱的特点，在经济、管理、数学、物理等众多领域得到了广泛应用。

在实现综合评价方法方面，MATLAB软件比实现数学编程的C语言、VC++、VB和Mathematica等软件相比，更为优越。首先，MATLAB是一种通用的科学计算软件，并不限于某一个特定的专业领域。其次，MATLAB的大多数核心文件和工具箱文件是开放的，非常适合评价方法的编程以及新的评价方法的编程。在用MATLAB 编写综合评价方法的程序时，即可以采用在打包成可执行文件后进行类似于黑箱的运行方法，也可以采用在源代码可编辑的状态下交互式调试运行的方法。同时，对于新建评价方法、改进的综合评价方法或者组合多种评价方法程序编写中，可以在现有的MATLAB程序基础上，修改或新增相应的代码，以实现调整后的综合评价方法。因此，MATLAB软件是比较适合作为实现综合评价模型计算的软件。

基于MATLAB 的层次分析法主要是借用MAT⁃LAB中函数矩阵运算和程序控制功能，以MATLAB实现的层次分析法计算流程框图如图2所示。

3 实例分析

某市在对大跨度钢管混凝土拱桥进行安全性评价时，采用了如图1 所示的安全性评价模型和如图2 所示的计算流程框图。在此模型中，拱桥安全性评价的目标层有一个指标，准则层有拱桥的动力特性、承载能力和外观质量3 个指标，指标层有13个。

图2 以MATLAB实现的层次分析法的计算流程框图

3.1 用指数标度构建判断矩阵

按照人们较为熟悉的专家打分法，分析各种安全习惯的重要程度。本文判断矩阵的制定是采用专家以及现场工作人员对指标元素进行两两比较，从而得出最符合条件的判断矩阵。用此方法评价出准则层中3 个准则相对于目标层的判断矩阵A。

采用同样的方法确定准则层中各项权重矩阵，从而得到判断矩阵B1，B2，B3。

3.2 层次单排序

通过MATLAB软件，计算判断矩阵A的特征向量和最大特征值，并进行一致性检验，见表4。

表4 判断矩阵A单排序权值及检验结果表

从计算结果可以看出，承载能力安全性最为重要，其权重值为0.660 1，其次是动力特性安全性，其权重为0.2008，再次为外观质量安全性，其权重为0.139 2。同时，CR＜0.1，说明判断矩阵A的单排序有满意的一致性。

同样，计算出判断矩阵B1，B2，B3的特征向量和最大特征值，并进行一致性检验，如表5～表7所示。

表5 判断矩阵B1 单排序及检验结果表

表6 判断矩阵B2 单排序及检验结果表

表7 判断矩阵B3 单排序及检验结果表

由表5～表7 可以看出，检验结果均小0.1，故可以认为判断矩阵B1，B2，B3是可接受的。

3.3 层次总排序

在进行层次总排序前，应先用MATLAB 软件对层次的总排序进行一致性检验，其运算结果为CR=0.0112，CR＜0.1，表明层次总排序极有满意的一致性。

通过MATLAB 计算判断矩阵的层次总排序，并采用列表的方法呈现出来，既直观又简便。某市的大跨度钢管混凝土拱桥安全性评价的层次总排序计算如表8所示，专家对该市大跨度钢管混凝土拱桥安全性评价的评估结果，如表9所示。

表8 大跨度钢管混凝土拱桥安全性评价层次总排序表

从表8排名情况，可以清晰地看到各影响因素对大跨度钢管混凝土拱桥安全性的影响程度。其中，拱桥的承载沉降与位移、主拱肋挠度对拱桥安全性影响最大，其次是拱桥的冲击系数、系杆内力，再次是拱桥的吊杆内力，而拱桥的附属设施对拱桥安全性的影响最小。

表9 大跨度钢管混凝土拱桥专家安全性评估值排序表

将表9 的排名情况和表8 对比可知，用MAT⁃LAB软件计算层次总排序的结果和专家评估结果相吻合，说明了基于MATLAB 的层次分析法对大跨度钢管混凝土拱桥安全性评价的可行性。

4 结语

在进行桥梁安全性评价时，常常会用到层次分析法来建立安全性评价模型。本文针对大跨度钢管混凝土拱桥安全性评价模型，用MATLAB 计算基于指数标度法构建的判断矩阵的特征根、特征向量、分层次权重和总排序权重，可以准确而迅速地得出评价结果，并且评价结果与专家评估相吻合，表明MALAB 在层次分析法运用的有效性和实用性。同时，基于MATLAB 的层次分析法较好地完成了定性与定量的结合，使评价指标的定性问题得以量化，得到了有效的评价结果，为决策者提供了较为准确又易理解的参考依据。

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