罗振华+蒋芬+蒋威

摘 要：随着市场发展和人们生活质量的提升，现代工业产品造型越来越复杂多样。复杂曲面大多通过平面材料加工而成，对不可展曲面的近似展开已成为工业设计的重要课题。该文对近20年来常用的不可展曲面的近似展开方法进行了分析、总结和归纳。

关键词：不可展曲面  近似展开  市场

中图分类号：T-9 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）10（c）-0051-02

Analysis of the Approximate Development Algorithms for Undevelopable Surfaces

LUO Zhenhua1  JIANG Fen1  JIANG Wei2

（1.Wuhan University of Technology Huaxia College， Wuhan Hubei， 430223;2.Shanghai High School， Shanghai， 200231，China）

Abstract：With the development of market and the improvement of people's living quality， modern industrial product design is more and more complicated. Most complex surfaces are processed by plane materials， the approximate development of undevelopable surfaces has become the important subject of industrial design. In this paper， the approximate development algorithms of undevelopable surfaces in recent twenty years are analyzed， summarized and concluded.

Key Words：Undevelopable Surface  Approximate development  Market

随着市场发展和人们生活质量的提升，现代工业产品造型越来越复杂多样，而在工业生产过程中，许多情形下曲面是通过对平面材料的加工而来的。为了节约原材料并提高生产效率，对不可展曲面的近似展开成为CAGD（Computer Aided Geometric Design）与工业制造中的重要课题。早在公元二世纪，希腊天文学家Ptolemy就提出了利用球面上的经线与纬线将球面展开到平面的方法。然而对于复杂曲面的展开问题一直没能很好地解决，直到近20年来，随着计算机技术的不断进步，许多新的方法被学者们提出来。总的说来这些方法可以分为物理方法与几何方法。

1 不可展曲面的物理展开方法

20世纪50年代，前苏联物理学家楚达列夫提出了滑移线法。滑移线是曲面上每点的两个最大剪应力方向的包络线。滑移线理论表明，处于屈服状态的物体，塑性形变就沿着滑移线方向进行滑移。由于适用于滑移线方法的材料是要满足一系列较为理想的假设条件的，因此，其应用范围受到了这些较为严苛的假设条件的限制。到了20世纪80年代，比拟法应用较广。这一方法的主要思路是，通过模拟材料内部介质在受到外力时的流动模型来探寻在实际加工中产生的形变。根据材料的不同特性衍生出了不同的模拟物理模型，常见的方法有电模拟法，热传导法，以及流体法。

电模拟法：对于不可压缩的各向同性刚体，其塑性流动方程如下：

?2φ?x2+?2φ?y2=0        （1）

（1）式中φ表示流场速度的势函数，这完全和电压场中电压U所应满足的方程一样：

?2U?x2+?2U?y2=0         （2）

于是可以通过实验的方式用金属丝模型来测量出电流的流动，进而模拟出变形后材料的外形。与之类似的热传导法针对在变形过程中满足热传导方程的材料，而流体法则用来模拟易于流动的一类材料。从这里可以看出不仅材料的性质制约着比拟法的应用范围，而且需要采用实验的方法模拟材料的变形过程也不易于操作。有限元算法出现在20世纪60年代，目前被广泛地应用到各个领域中。用有限元来展开曲面要先研究每一小块物质单元的变形性质，来获得一个合理的目标函数求解出最优值，进而得到所求的展开结果，C.H.Lee，H.Hu在1998年提出了一种简单有效的目标函数：

minJp=en（he-h0）p1p       （3）

（3）式中n表示节点数，he为单元的厚度，h0为初始的厚度，p为罚因子。

有限元算法是一种结果较为精确，并且可以反复连续地优化多次的方法。但是计算量十分巨大，花费时间较长。

2 不可展曲面的几何展开方法

从几何的角度讲曲面展开就是去寻求如下的一一映射：φ：S→Ω       （4）

这里S是一个三维曲面，Ω是平面上的一个区域。评判某种展开算法效果的优劣主要是计算曲面与其近似展开的平面区域之间的一些几何量的变化程度，通常作为判断标准的几何量有边长（弧长），角度，面积等。由于算法对象是不可展曲面，因此上述几何量势必会发生变化，以哪种几何量作为判断标准，需要根据实际需要来决定。近20年来通过几何方法研究曲面展开主要有两种算法：参数映射法和网格细分算法。endprint

2.1 参数映射法

参数映射法就是从某一类映射中去找合适的映射φ，在这类方法中线性参数映射是形式最简洁，研究最深入，应用最广泛的一类方法，具体的实现步骤可以归纳成以下几步：第一步，将三角化曲面的边界网格顶点，映射到平面的一个凸多边形。第二步，在展开平面上，其内部网格点可以写成其相邻网格点的凸组合：

φv=w∈Nvμvwφ（w）        （5）

Nv为所有与v相邻的网格点的集合。记V1表示所有曲面内部网格点的集合，Vb表示所有曲面边界网格点的集合，将式（5）中的内部顶点与边界顶点进行分离，（5）式可以写成如下形式：φv-w∈NV ∩V1μVWφw=w∈NV∩VbμVWφw （6）

将（6）写成矩阵形式AX=B，这里X=φ（v）v∈V1为列向量，B是列向量，其元素由（6）式右端给出，A=awvw，v∈V1，且满足：awv=1，w=v-μvw，w∈Nv0， otherwise求解这个线性方程组就可以得到φ的形式。不同的μvw的取值方式，会形成不同的展开结果。

2.2 网格细分算法

网格细分算法的发展时间不长，但是这种方法对曲面本身的形状要求很低，因此被广泛地应用到工业设计领域。其主要思路是将曲面细分成小的三角片或四边形片区域，然后将这些小的三角片和四边形片拼到同一个平面上，目前主要有以下两种拼接方式。第一种方式是以曲面上某个网格点为中心，按照某种方式先拼接中心附近的三角片或四边形片，再依次按算法规律向外拓展。庞林，刘玉君等提出了一种保形映射的方法，文章中将曲面近似展开时，允许每个三角片的三个内角发生变化而三角片的某两条边长度不变。依此方法是从展开中心开始，先横向拼接，再纵向拼接，这样的保形映射在展开的中心位置有比较好的吻合结果，而在离中心越远者形状会无法保持，同时在纵向拼接时会产生缝隙，康小明等在其文章中提出了另一种保面积的拼接方法，通过在拼接时边长的伸缩保证映射前后的每个四边形片的面积不发生变化，但与庞林等人的方法类似的也会遇到离中心越远者形状的偏差会很大。网格细分算法的研究大多是将细分后的曲面在一个平面上以某种方式拼接在一起，这类算法的特点在于简洁方便，易于计算。其主要不可克服的缺陷就是过度的保证第一块或前几块被映射到平面的曲面片的性质，同时这些方法也缺乏对近似展开后的图形与原曲面的差别比较。

3 结语

目前，网格细分算法被广泛应用与工业设计制造中。为保证其在展开过程中形变向量达到最小，展开结果与原曲面尽可能保持一致，还需要在网格细分算法的基础上进一步优化。

参考文献

[1] Lee C H，Huh H.Blank design and strain estimates for sheet metal forming pro-cesses by a finite element inverse approach with initial guess of linear deforma-tion[J].Journal of materials processing technology，1998，82（1）：145-155.

[2] Floater M，Hormann K.Parameterization of triangulations and unorganized points[M]//Tutorials on Multiresolution in Geometric Modelling.Springer Berlin Heidelberg，2002：287-316.

[3] 庞林，刘玉君，纪卓尚，等.不可展曲面近似展开的保形映射法[J].中国造船，2005，46（4）：58-64.

[4] 康小明，马泽恩.不可展曲面近似展开的四边形网格等面积法[J].西北工业大学学报，1998，16（3）：327-332.endprint