宋树华，濮国梁，罗 旭，陈 东，陈润强

（1.北京大学 遥感与地理信息系统研究所，北京100871；2.中国资源卫星应用中心，北京100094；3.中煤科技集团公司，北京100013；4.北京应用气象研究所，北京100029）

0 引 言

在多边形裁剪算法中，根据裁剪处理的对象不同，裁剪可分为线段裁剪和多边形裁剪。多边形裁剪较线段裁剪具有更高的使用频率，且多边形越复杂，多边形裁剪算法的难度也越大。经典的多边形裁剪算法，如Sutherland－Hodgeman［1］、 梁－Barsky［2］、 Foley［3］、 Maillot［4］、 Andereev［5］等算法要求裁剪多边形是矩形，罗畏［6］提出的算法则要求裁剪多边形是圆形，而一般多边形裁剪更加实用。Weiler算法［7］、Vatti算法［8］以及 greiner－Hormann算法［9］、刘永奎［10］和彭杰［11］提出的多边形裁剪算法可对处理一般多边形。同时，赵红波［12］和周清平［13］对等值线图的任意多边形窗口裁剪进行研究，陈占龙［14］采用基于要素模型实现多边形裁剪，刘雪娜［15］、王结臣［16］对复杂多边形裁剪进行了探讨。其中，Weiler算法采用树形数据结构，Vatti和greiner－Hormann算法采用双线性链表数据结构，刘永奎、周清平、陈占龙和刘雪娜等的裁剪算法采用单线性链表，彭杰、赵红波和王结臣等的裁剪算法则采用单链表、单指针的数据结构。虽然后两种在复杂性上优于前几种算法，但必须判断多边形顶点的顺时针和逆时针性，增加了多边形裁剪算法的难度。

针对这些问题，本文提出了一个新的多边形裁剪算法，裁剪多边形和被裁剪多边形都可以是一般多边形，且不需要规定多边形输入方向。本算法采用矢量数组结构，只需遍历裁剪多边形和被裁剪多边形顶点即完成多边形的裁剪，具有算法简单、运行效率高的特点。

1 基本概念与定义

为了便于下文对算法的描述，本节将介绍多边形裁剪中涉及的一些概念。

1.1 多边形、顶点及边

由平面上闭合多线段S：｛E0，E1，…，En－1｝（n≥3）称为多边形，其中连接相邻顶点的线段n－1）称为S的边，Pi为顶点。Ei－1，Ei称作Pi的邻边，并规定i的增序方向为S的正方向，否则为反方向。若多边形中不相邻的边不相交，则称该多边形为简单多边形。

1.2 交点、前驱与后继

对于S，若沿着S正方向，则Pi为I在S中的前驱（predecessor），Pi＋1为I在S中的后继 （successor）；若沿着S反方向，则Pi＋1为I在S中的前驱，Pi为I在S中的后继。同理，对于C，若沿着C正方向，则Pj为I在C中的前驱，Pj＋1为I在S中的后继；若沿着C反方向，则Pj＋1为I在S中的前驱，Pj为I在S中的后继。若Ei与Ej交点I为Pj，则在C中，I的前驱和后继均为Pj，如图1（a）中的I8点。

图1 裁剪多边形S和被裁剪多边形C

2 算法的数据结构

多边形裁剪算法的核心是数据结构，它决定了算法的复杂度和计算效率。目前，多边形裁剪常用数据结构为线性链表结构、双向链表结构和树形结构。在算法的复杂性上，线性链表最简单，树形结构最复杂。同时，线性链表比双向链表少一个指针域而节省了存储空间，但指针依然占用空间。因此，兼顾数据结构简单和节省存储空间的目的，本文提出了基于矢量数组vector的数据结构。多边形矢量数组的每个元素表示多边形顶点，且按顶点输入的顺序存储。顶点或交点的数据结构如下：

Vertex＝ ｛double x，y；bool IsInPolygon；｝

交点的前驱后继数据结构如下：

CrossPointIndex｛

int nPredecessorIndex＝0；／／前驱序号

int nSuccessorIndex＝0；／／后继序号

｝

线段的数据结构如下：

Segment｛

int nStartIndex＝0；／／顶点1序号

int nEndIndex＝0；／／顶点1序号

int＊pIndexes；

int nIndexCount；

｝

Vertex用来存储多边形的顶点或交点，x，y表示顶点的坐标，IsInPolygon为true表示该点在多边形内部或在多边形的边上，否则，表示该点在多边形外部。CrossPointIndex用于记录交点在多边形中的前驱与后继的序号信息，以及记录同一交点在两个多边形中顶点序号。即若P为多边形S与多边形C的交点，为了表示P在S和C中为同一点，则可用CrossPointIndex记录用nPredecessorIndex记录P在S中的序号、用nSuccessorIndex记录P在C中序号。Segment表示多边形在另一个多边形内 （外）的线段，nStartIndex为Segment起始顶点的序号，nEndIndex为Segment终止顶点的序号，pIndexes为起始顶点与终止顶点之间的顶点序号集合，nIndexCount为pIndexes中元素个数。

3 算法设计

多边形裁剪算法分为3个阶段。第1个阶段，采用射线法［17，18］计算并判断S （或C）在C （或S）内，并修改S（或C）顶点Vertex的IsInPolygon的值。第2个阶段，按正方向遍历S与C，计算S与C的交点集，交点的前驱后继信息、交点在S和C中对应关系，以及相交多边形弧段集。此阶段是本算法的核心部分。第3个阶段，对弧段集进行合并，生成并输出结果多边形。

第1个阶段文献 ［17，18］讨论的很充分，这里就不再赘述了。下面从第2个阶段开始介绍，以图1为例，具体步骤如下。

步骤1 按正方向遍历S与C并计算交点集Vector＜Vertex＞CrossPointSet，同时生成交点在S和C中前驱、后继信息Vector＜CrossPointIndex＞ CrossPointIndexSetS和Vector＜CrossPointIndex＞CrossPointIndexSetC。其中，CrossPointSet中元素IsInPolygon的值为true。若Cross－PointSet元素为多边形的顶点，如图1（a）中I8与C中序号为7的点为同一点，则CrossPointIndexSetC中对应的元素nPredecessorIndex与nSuccessorIndex的值相等，均C顶点的序号7。表1为交点在在S和C中前驱与后继信息统计表。

表1 交点在S和C中前驱与后继信息

步骤2 判断CrossPointIndexSetS或CrossPointIndex－SetC中首尾元素的nPredecessorIndex与nSuccessorIndex值是否相等。若相等，则将尾部元素放置到首部位置。重复判断操作，直到首尾元素值不相等为止。表2为表1调整后的结果。

表2 交点集合元素顺序调整后的结果

步骤3 按倒序将CrossPointIndexSetS和CrossPoint－IndexSetC中的元素插入到S和C中，计算原多边形顶点的序号信息，并建立交点在两个多边形中顶点序号对应关系集合。

假设插入交点后的S和C成为S’和C’。插入同时，建立交点在S’和C’中顶点序号对应集合Vector＜Cross－PointIndex＞CorrespondingCrossPointIndexSet，并用nPredecessorIndex记录S’中顶点序号、nSuccessorIndex记录C’中顶点序号。其中，以CrossPointIndexSetS和Cross－PointIndexSetC中前驱序号为0的元素开始，交点序号在前驱序号的基础上顺序递增。根据交点的前驱后继集合信息，S和C顶点在S’和C’中的序号具有如下变化规律：

式中：nPredecessorIndex ［i］、nSuccessorIndex ［i］——S、C序号为i的顶点在S’和C’中的序号，ni——S和C中序号为i与i＋1之间的交点个数。表3是将图1（b）中的交点插入到S和C后顶点序号变化统计表。其中，图1（b）中括号前的数字表示交点插入前顶点序号，括号中的数字表示交点插入后的顶点序号。

表3 多边形顶点序号变化

步骤4 释放CrossPointIndexSetS和CrossPointIndex－SetC空间，修改交点对应集合CorrespondingCrossPointIndexSet的元素值，见表4。

表4 交点对应集合元素值

步骤5 按正方向分别连接S’和C’中Vertex的IsInPolygon为true且相邻的顶点，生成线段集Vector＜Segment＞SegmentSetS和 Vector＜Segment＞ Segment－SetC，见表5。

表5 多边形线段集元素的顶点序号表

步骤6 遍历SegmentSetS元素并取第i号元素的中点Pi，采用射线法判断Pi是否在C中，若不在C中，则删除SegmentSetS中第i号元素。同理，删除SegmentSetC中元素的中点不在S’中的项。表6为SegmentSetS和Segment－SetC按照步骤6操作后的结果。

表6 线段集合删除在多边形外元素后的结果

步骤7 分别合并SegmentSetS和SegmentSetC中为相邻边的元素。表7是表6线段合并后的结果。

表7 S’和C’的线段合并后的集合

步骤8 遍历SegmentSetS和SegmentSetC，利用CorrespondingCrossPointIndexSet交点在S’和C’的对应关系，将S’和C’互为相邻边或相交的线段连接起来。若SegmentSetS中某元素和SegmentSetC中某元素的值相等或交叉相等，则表示为闭合多边形。线段连接算法如下：

int i＝j＝0；

while（i＜SegmentSetS.Size（））

｛

Segment seg1＝ SegmentSetS［i＋＋］；

int nStart＝seg1.nStartIndex；

int nEnd＝seg1.nEndIndex；

for（j＝0；j＜CorrespondingCrossPointIndexSet.Size（）；j＋＋）

｛

遍历CorrespondingCrossPointIndexSet，得到与S’的nStart、nEnd序号相等顶点的C’序号，用nStart和nEnd记录与S’顶点相应的C’顶点序号。此处，可以删除满足条件的CorrespondingCross PointIndexSet，减少下次循环的次数。

｝

for（j＝0；j＜ Polygon2segments.Count；j＋＋）

｛

Segments seg2＝SegmentSetC［j］；

Segments seg3＝SegmentSetC［j＋1］；

if （（nStart＝ ＝ seg2.nStartIndex ＆ nEnd＝ ＝seg2.nEndIndex））

｛

若线段seg1的起始节点与seg2的起始节点、seg1的终止节点与seg2的终止节点相等，表示线段seg1与seg2组成为一个相交多边形，那么只需将seg2中的点倒序加入到seg1点的后面即可，即点的顺序为：seg1起始点－seg1中间点 （顺序）－seg1终止点－seg2中间点 （倒序）。其中，括号中的顺序是指按Segment中pIndexes元素序号从小到大的先后顺序插入，括号中的倒序则是按pIndexes元素序号从大到小的顺序插入。后面的意义相同。

｝

else if （（nStart＝ ＝ seg2.nEndIndex ＆ nEnd ＝＝seg2.nStartIndex））

｛

若线段seg1的起始节点与seg2的终止节点、seg1的终止节点与seg2的起始节点相等，表示线段seg1与seg2组成为一个相交多边形，那么只需将seg2中的点顺序加入到seg1点的后面即可，即点的顺序为：seg1起始点－seg1中间点 （顺序）－seg1终止点－seg2中间点 （顺序）。

｝

else if （（nStart＝ ＝ seg2.nEndIndex ＆ nEnd ＝＝seg3.nStartIndex））

｛

若线段seg1的起始节点与seg2的终止节点、seg1的终止节点与seg3的起始节点相等，表示线段seg2－seg1－seg3为相交多边形的一部分，那么只需把线段seg1和seg3顶点和中间点追加到线段seg2后面即可，点的操作顺序为：seg1起始点 （或seg2终止点）－seg1中间点 （顺序）－seg1终止点 （或seg3起始点）－seg3中间点 （顺序）。同时，将seg3从SegmentSetC中删除。

｝

else if （（nStart＝＝ seg2.nStartIndex ＆ nEnd ＝＝seg3.nEndIndex））

｛

若线段seg1的起始节点与seg2的起始节点、seg1的终止节点与seg3的终止节点相等，表示线段seg3－seg1－seg2为相交多边形的一部分，那么只需把线段seg1和seg2顶点和中间点追加到线段seg3后面即可，点的操作顺序为：seg1终止点 （或seg3终止点）－seg1中间点 （倒序）－seg1起始点 （或seg2起始点）－seg2中间点 （顺序）。同时，将seg2从SegmentSetC中删除。

｝

｝

算法结束，即可输出结果多边形。根据上述算法，结果多边形形成的过程见表8。

表8 结果多边形形成的过程

该算法不仅可以求多边形的 “交” （多变形的裁剪），而且也可以求多边形的 “并”和 “差”。例如，在求多边形的 “并”时，只需将交点与被裁减多边形和裁剪多边形的外点 （IsInPolygon为false）连接，即为结果多边形；而对于多边形的 “差”，只需将交点与被裁减多边形外点 （IsIn－Polygon为false）连接，即可结果多边形。

4 算法分析

下面从空间复杂性和时间复杂性上对算法进行分析。

首先对空间复杂性分析。假设S和C的顶点数分别为n和m（m＞n），交点数为k。根据文献 ［10］所述，文献［10］中算法需要5（n＋m）＋6k个存储单元，Vatti算法和Greiner－Hormann算法占9（n＋m＋2k）个存储单元。

对于本文的算法，每个顶点和交点只占用3个存储单元，交点前驱后继数据结构占2个存储单元，弧段占用4个存储单元。由于交点前驱后继数据结构在对每个多边形都记录一次，因此一个交点的前驱后继占用4个存储单元；在申请弧段结构时，前驱后继结构是不同时存在的，那么在整个算法实现过程中，交点前驱后继信息和弧段信息始终为4个存储单元。因此，本算法总的存储单位为

因此，本算法中的顶点占用的空间比文献 ［10］的顶点所占用的空间将尽少一半，交点占用存储空间比文献［10］算法多k个单元。而相对于 Vatti算法和Greiner－Hormann算法，则节约6（n＋m）＋11k个存储单元，几乎少用了2／3的存储空间。

其次，时间复杂度分析。第1阶段生成交点以及点是否在多边形内，遍历多边形1次，其时间复杂度为o（m×n）；第2阶段步骤1，判断多边形交点对应关系，遍历交点前驱后继集1次，时间复杂度为o（k×k）；步骤6判断线段集合元素的有效性，遍历线段集合和多边形1遍，其中线段集合元素最多不超过k、多边形边数不超过 （m＋k），因此最坏情况下的时间复杂度为o（（m＋k）×k）；步骤7和步骤8，分别是线段合并和线段连接，遍历线段集合1遍，由于线段集合、顶点对应集合的元素的个数均不超过k，所以最坏情况的时间复杂度为o（k×k）。因此，本算法的时间复杂度为o（（m＋k）×k）。

5 结束语

本文综合考虑现有多边形裁剪算法的优缺点，提出了一种基于多边形顶点遍历的简单多边形裁剪算法。本算法通过采用矢量数组结构、遍历多边形顶点并记录裁剪多边形和被裁减多边形交点及其前驱、后继信息，而无需考虑输入多边形的方向、形状等，即可很好地处理多边形边重合、边顶点相交等特殊的情况，实现多边形裁剪。结果表明，本算法具有算法简单、易于实现、运行效率高的特点。

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