张昭锋，彭一江，郭 庆，单岩岩

（北京工业大学建筑工程学院，北京 100124）

近年来，随着计算机技术的高速发展和广泛应用，有限元法有了很大的进展，已经成为处理力学、物理、工程等问题的有效方法之一［1－4］。但是现有的有限元法采用的都是传统二阶应力张量的描述体系，这种理论框架让建立和表述数学模型较为繁琐，难以寻求更大的突破。

对此，GAO 提出了一个远较传统的应力张量简单的新概念——“基面力”来描述应力状态，并较系统地描述了基面力的理论体系［5－6］。彭一江等人在基于基面力概念的余能原理有限元法方面进行了研究，推导出了适用于大位移、大转动问题的有限元列式，具有边中节点的四边形基面力元的几何非线性有限元列式以及任意多面体基面力元的几何非线性余能原理有限元列式，采用Matlab语言编制相应的余能原理基面力元分析软件，研究了该方法的计算性能，在适应任意网格、提高计算精度和减少网格依赖方面取得了一些成果，并将该方法简称为“基面力元法”（base force element method，BFEM）［7－14］。目前，基于余能原理的基面力元法已经得到了一些国际同行的关注［15］。

本文在介绍描述平面应力状态的基线力概念和具有边中节点的平面4 节点基面力元模型的基础上，探索了相应的基面力元法在重力坝应力分析中的应用。

1 二维问题的余能原理基面力元法

1.1 二维受力状态的基面力表征

考虑二维弹性体区域，P，Q分别表示一物质点变形前后的位置矢量，xα（α＝1，2）表示该点的Lagrange坐标，则变形前后的基矢为

在向量dx1Q1，dx2Q2上作一个平行四边形微元，以描述Q点附近的应力状态，将基线力［9］定义为

式中：约定dx3＝dx1。

1.2 单元应力的表征

如图1所示，一个具有边中节点的基面力元。

当单元足够小时，可以假设应力均匀地分布在每一边上，则单元的平均应力的表达式为

式中：A为单元的面积；PI为边中节点的径矢。

单元应力的展开表达式可写为

式中：e1，e2表示单位基矢量。

1.3 单元柔度矩阵显式表达式

单元柔度矩阵CIJ的展开表达式为［9］

单元柔度矩阵CIJ的矩阵形式为

式（6）为平面应力状态下的表达式。对于平面应变问题，只需将式中的E换为E／（1－v2），v换为v／（1－v）。

1.4 余能原理基面力元法控制方程

余能原理基面力元法的控制方程是如下泛函的约束极值问题：

式中：WeC为单元的余能为位移边界Γu上的给定位移；T（Γu）为Γu上的面力。

利用Lagrange乘子法，放松平衡条件约束，可得单元的修正泛函为

式中：λ，λ3为Lagrange乘子。

系统的修正泛函为

泛函的驻值条件为

由式（10）得到下列线性方程组

求解该线性方程组，得到各个单元的面力。

1.5 节点位移的表征

节点位移可由各单元的支配方程求得

式中：ε为置换张量，在直角坐标系下的表达式为

节点位移的展开表达式为

2 应用算例

一混凝土重力坝，坝高65m，底宽49m，混凝土弹性模量E＝15GPa，泊松比取v＝0.2，水容重1t／m3，混凝土容重2.45t／m3。汛期水位为60m，考虑水压力和混凝土重力共同作用下的应力分析。计算时按平面应变问题考虑，采用20×40的4边中节点四边形单元，单元剖分网格如图2所示。

图2 重力坝及基面力元网格Fig.2 A gravity dam and the meshes of BFEM

计算所得挡水面上各单元的应力及节点位移，取大坝挡水面上单元的应力、位移绘于图3。

图3 大坝挡水面的应力和位移Fig.3 Stresses and displacements at the upstream face of the dam

计算结果表明：二维线弹性的余能原理基面力元法能够用于重力坝应力分析，与ABAQUS有限元分析结果吻合较好，计算精度较高。

3 结 论

1）算例结果表明，基于余能原理的基面力元法和大型程序ABAQUS计算结果吻合，可以应用于重力坝应力分析问题。

2）基于余能原理的基面力元法的特点是：以基线力为基本未知量，来表征物体的受力状态，以其对偶量位移梯度表征物体的变形状态；该方法不用引入单元插值函数；单元应力及节点位移列式均为显式，无需进行数值积分。

3）研究工作表明，基于余能原理的基面力元法对单元网格的长宽比变化不敏感，具有较好的计算性能，具有较广阔的应用前景。

／References：

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