许华存

高中数学教学到了高三阶段基本都是复习课，常规模式的复习课对于老师来说已经有了教学“疲劳”，学生也有了听课“疲劳”。怎么样让高三的复习课活起来，让老师和学生都有新鲜感？笔者在高三二轮复习时做了一些尝试，主要把背景差不多的题目做成小专题的形式，收到了不错的效果。以下是《立体几何中的轨迹问题》的课堂实录。

师：同学们，这几次作业中我们经常会遇到涉及到空间的点的轨迹问题，今天我们一起来探究一下这类问题，希望能帮大家解决一些困惑。

例1、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是平面ABCD内的动点，若点P到直线A1D1的距离等于点P到直线CD的距离，则动点P的轨迹所在的曲线是（）

A.抛物线B.双曲线C.椭圆D. 直线

师：请同学们先在草稿本上画个图吧！

生甲：这道题不是做过了吗？

师：那好！请你说一下怎么做。要不你上来？（学生笑）

生1：还是下面说吧！在平面ABCD上随便取一点P，过P作PM⊥AD于M，过M作MN⊥A1D1于N，连接PN，再过P作PG⊥CD于G，则PN=PG。而PN2=PM2+MN2=PM2+1，∴PG2-PM2=1。这样就可以得到轨迹是双曲线了。

师：这么快？

生1：那就坐标系好了。分别以DA，DC为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设P（x，y），则有x2-y2=1，所以轨迹是双曲线。（老师在黑板上画图）

生2：那还不如直接建立坐标系。

师：同学们以为呢？

生3：我认为直接建系的话，P到A1D1的距离比较麻烦。还是先转化，建立平面直角坐标系好一点。

师：大家都说得有道理。这个题目表面上看涉及空间点的轨迹问题，其实点在面ABCD上运动，所以我认为先转化为平面点的轨迹问题，然后再建系，也就是用解析几何的方法解决了。……