张占兵

没有对知识点的记忆，就很难形成逻辑的思维与结构.

立体几何中的直线和平面的平行关系，作为平行关系的核心，是学习立体几何推理论证的开始，也是研究空间特殊位置关系的一个重要方面，学生在学习过程中感到比较困难的是如何构造图形（作辅助线），寻求“线线平行”与“线面平行”的相互转化.为了使学生能够尽快学会“用图形语言进行交流”，我们可以在学生有了一定的感官认识的基础上，给学生总结出几种常见的模型，要求学生连同“直线与平面平行的判定定理和性质定理”一起记住，在处理相关问题时，最初可以先学会对号入座，符合哪一种模型就模拟哪一种进行构图、推理.经过训练，学生就能更快地学会、理解、掌握空间几何中的推理论证方法.

总结平行关系中的构图方法和证明方法，我们会发现，最有代表性的是以下四种模型：

模型一 如图1（为便于区别，图1、图2、图3把新作出或寻找到的线画成虚线），已知：线段EA交平面α于点B，B为EA的中点，要证EF∥平面α，只需连接AF交平面α于点C，考查BC与EF是否平行.显然，证明点C是线段AF的中点，则BC就是三角形AEF的中位线，就有BC∥EF，利用直线与平面平行的判定定理即可得到结论.

图 1

例1 如图1-1，已知：在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点E是PD的中点.求证：PB∥平面EAC.

图1-1 图1-2 图1-3

分析 观察图形，结合已知条件，可以看到，在线段PB与平面EAC之间的诸多联系中，最为特殊、与已知条件联系比较紧密的是线段PED，注意到PD交平面EAC于点E且点E是PD的中点，联系PB，PD与平面EAC的位置关系，不难发现：只要找出线段BD的中点即可，符合模型一.故连接BD交AC于点O，连接EO（如图1-2），只要证明EO∥PB问题就迎刃而解.（证明略）

评析 观察图形时，尤其要关注一些特殊的部位，平行问题中，找（作）平面内的直线与平面外的直线平行的依据是直线与平面平行的判定定理，找线段中点，构造三角形中位线来解决是个好途径好方法，同时如果在分析问题过程中把考察的对象从空间图形中“抽取”出来（所要考察的直线和平面，本例如图1-3），注意它们之间的联系，局部分析，整体考虑，那么更容易对号入座，寻求方法.

模型二 如图2，已知：平面α外一点A及平面α内一点B，E为线段AB的中点，要证EF∥平面α，只需连接AF并延长交平面α于点C，考查EF与BC是否平行.显然，证明点F是线段AC的中点，则EF就是三角形ABC的中位线，就有BC∥EF，利用直线与平面平行的判定定理即可得到结论.

图 2

例2 如图2-1，已知有公共边AB的两个平行四边形ABCD和ABEF不在同一平面上，P，Q分别是对角线AE和BD的中点.求证：PQ∥平面EBC.

图2-1 图2-2 图2-3

分析 观察图形，在经过点P或点Q的所有线段中，线段APE与平面EBC的关系恰好符合模型二的特征，结合平行四边形的性质，连接AC（如图2-2），因为点Q是平行四边形ABCD的对角线BD的中点，所以点Q在AC上且为AC的中点，故PQ是三角形AEC的中位线，问题得以解决.（证明略）

评析 和模型一相比，模型二也利用了寻找中点构造三角形中位线的方法解决问题，但二者之间还是有着微妙的差异的.例2在分析过程中如果把所考察的直线和平面从复杂的原图形中“抽”出来（如图2-3），就能很清楚地看出如何添加辅助线，从而使问题迎刃而解.从复杂图形中“抽”出我们的研究对象，使问题的特征更凸显更直观，是分析空间问题的一个有效的技巧和方法.

模型三 如图3，已知：平面α外的一条线段EF，A为平面α内一点，要证EF∥平面α，只需过点F作FB∥EA交平面α于点B，判断四边形ABFE是否是平行四边形.事实上，在四边形ABFE中，已经有FB∥EA，只需证明FB=EA就可以了.

图 3

例3 如图3-1，已知：在正方体ABCD-A′B′C′D′中，M，N分别是DD′，BC′的中点，求证：MN∥平面ABCD.

图3-1 图3-2 图3-3

分析 观察图形，结合正方体的特征，注意线段MN与平面ABCD的关系，可以发现MD是它们之间比较好的一个联系，线段的中点又是一个非常有效的分析问题的着手点，显然符合模型三的特征，所以只需取BC的中点E，连接NE，DE（如图3-2），只要能证明MD∥NE且MD=NE，则四边形MNED是平行四边形.（证明略）

评析 有些图形中可能不涉及线段的中点，无法像前两个模型那样利用三角形的中位线解决，但我们可以体会到，只要有相同的比例关系，总可以构造出平行线来，方法可以类比，可以迁移.本例虽然有中点出现，也可以利用模型二解决问题：取BC中点为E，连接D′N并延长，交DE延长线于点F，证明MN是三角形D′DF的中位线即可（图形略）.但是这种方法的图形扩展到了形外，图形构造比较复杂，而且证明过程也相对烦琐.对照模型三，只要“抽”出主要元素（如图3-3），构图、证明思路就一目了然.

模型四 如图4，已知：平面α外的一条线段EF，要证EF∥平面α，寻找过EF的平面β，如果平面α与平面β平行，那么利用“两个平面互相平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面”就可以证明直线EF∥平面α.

图 4 图4-1

例4 （同例2，如图2-1）

分析 再次观察图2-1，联系平面与平面平行的特征，可以看到，只要过PQ构造一个平面与平面EBC平行，利用两个平面平行的定义就可解决问题，考虑到点P，Q分别是线段AE，BD的中点，所以可以取AB的中点R，连接PR，QR（如图4-1），很容易能够证明平面PQR∥平面BEC.（证明略）

评析 1.观察图形时，尤其要关注一些特殊的部位，平行问题中，找（作）面内的线与面外的线平行的途径是取中点利用平行四边形或三角形中位线性质等，找中点解决是个好途径好方法，这是立体几何论证平行问题，培养逻辑思维能力的重要思想方法，同时要在分析问题过程中把考察的对象从空间图形中“抽取”出来（所要考察的直线和平面），注意它们之间的联系，局部分析，整体考虑.

2.一般来说，一组线面平行关系的证明可以用上述若干种模型来证明（比如例2和例4，还可以用模型三的方法解决），具体使用哪一种模型，要考虑证明过程是否简洁，同时也要考虑是否有利于后续问题的解决.一题多解的变式训练，多角度考虑问题，变换方法解决问题，有利于培养学生思维的广阔性和深刻性，有利于提高学生的学习效率.

3.如果已知条件中给出直线和平面平行，一般要利用直线和平面平行的性质定理寻求直线与直线平行，关于线面平行的性质的应用，同样也可以利用上述四种模型来分析构图，从而找出“线线平行”.这里限于篇幅，不再举例说明.

学生在“直线与平面平行”中首次使用空间位置关系的判定与性质进行证明，这是他们学习立体几何演绎推理论述的思维方式方法的开始，对发展学生的空间概念和逻辑思维能力其重要的基础作用不可忽视，处理好这部分内容对其他位置关系的研究非常重要，应该引起足够的重视.在处理问题的过程中，记住模型，把题目中的平行问题和四种模型对号入座，具体分析，关注共性和特性，增加了可操作性，可以帮助学生更好地分析问题和解决問题.对于部分空间想象能力较弱的学生来说，先记模型、套模型，再逐步理解、熟练、灵活使用，最终达到提高能力的目的，也不失为一种比较有效的训练途径.要引导学生总结规律，积累解决数学问题的方法，积累数学活动经验，从而更好地发展学生的合情推理、空间观念与逻辑推理能力.