李静

【摘要】行列式在高等代数中占有重要的地位，它是线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础.而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性，其中范德蒙行列式以其独特的性质令人瞩目，在行列式的计算中，我们常用各种方法将非范德蒙行列式转化成范德蒙行列式进行计算，本文归纳阐述了其中三种常用但不易掌握的方法，并通过一些例题来演示这些方法.

【关键词】范德蒙行列式;行列式计算;乘法规则;升阶法;拉普拉斯展开

在线性代数理论中，范德蒙行列式构造独特、形式优美，更由于它有广泛的应用，因而成为一个著名的行列式.正是由于这样，我们常在行列式的计算过程中， 利用各种方法将一些非范德蒙行列式转化成范德蒙行列式，然后利用范德蒙行列式的结论，把它们计算出来.

本文将先列举出利用范德蒙行列式的结论计算行列式的一般方法，而后本文归纳出了另外三种常用的将所求行列式转化为范德蒙行列式计算的方法，这些是行列式计算过程中不易掌握的方法，本文将通过一些例题来演示这些方法.

这三种方法分别是：利用乘法规则将所求行列式分解为含范德蒙行列式的形式进行计算、用升阶法将所求行列式转化为范德蒙行列式进行计算以及用拉普拉斯展开将所求行列式转化为范德蒙行列式进行计算.

一、范德蒙行列式

范德蒙行列式的形状为：

Dn=111…1

a1a2a3…an

a21a22a23…a2n

an-11an-12an-13…an-1n=∏1≤j

二、利用范德蒙行列式计算行列式

将所求行列式化为范德蒙行列式，然后利用范德蒙行列式的结果计算所要求的行列式，是计算某些行列式很好的方法.常见的化法为：所给行列式各列（或各行） 都是某元素的不同次幂，但其幂次数的排列与范德蒙行列式不完全相同，需利用行列式性质（如提取公因式，调换各行（或各列） 的次序、拆项等，将行列式化为范德蒙行列式.

例1 计算行列式：

D=x1x1-1x1x21…xn-11

x2x2-1x2x22…xn-12

xnxn-1xnx2n…xn-1n.

解 从第i行提出xixi-1 （ i=1，2，…，n） ，然后再把第1列加到第2列，之后，第2列加到第3列……第n-1列加到第n列，就得到范德蒙行列式，于是：D=∏ni=1xixi-1∏1≤j

例2 计算n+1阶行列式：

D=（2n-1）n（2n-2）n…nn（2n）n

（2n-1）n-1（2n-2）n-1…nn-1（2n）n-1

2n-12n-2…n2n

11…11.

解 将第n+1行依次与上行交换到第1行，第n行依次交换到第2行 ……第2行与第1行交换，于是共经过n+n-1+n-2+…+2+1=n（n+1）/2 次行的交换，得到：

D=（-1）n（n+1）211…11

2n-12n-2…n2n

（2n-1）n-1（2n-2）n-1…nn-1（2n）n-1

（2n-1）n（2n-2）n…nn（2n）n =（-1）n1！2！…n！.

三、利用范德蒙行列式计算行列式的三种不易掌握的方法

1.利用乘法规则将行列式分解为含范德蒙行列式的形式

引理：行列式乘法

设D1=a11a12…a1n

a21a22…a2n

an1an2…ann，D2=b11b12…b1n

b21b22…b2n

bn1bn2…bnn，

则D1D2=c11c12…c1n

c21c22…c2n

cn1cn2…cnn.

其中 cij是D1的第i 行的元素分别与D2的第j 列的对应元素乘积之和：

cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj.

例如，我们把D1中的元素具体取值，令

D3=120…00

012…00

001…00

000…12

200…01.

那么D3与D的乘积为：

D3·D=120…00

012…00

001…00

000…12

200…01·D=

111…1

a1a2a3…an

a21a22a23…a2n

an-11an-12an-13…an-1n=

1+2a11+2a21+2a3…1+2an-11+2an

a1+2a21a2+2a22a3+2a23…an-1+2a2n-1an+2a2n

a21+2a31a22+2a32a23+2a33…a2n-1+2a3n-1a2n+2a3n

an-21+2an-11an-22+2an-12an-23+2an-13…an-2n-1+2an-1n-1an-2n+2an-1n

2+an-112+an-122+an-13…2+an-1n-12+an-1n

=D4.

行列式D4是有规律的行列式，如果要计算行列式D4的值，那么可把D4分解成为D3与D 的乘积，行列式D3的值很容易計算得D3=1+（-1）n+1·2n，范德蒙行列式D的值可由（1） 计算.于是D4 的值可以求得： D4=[1+（-1）n+1·2n]×∏1≤j，i≤n（ai-aj）.

例3 计算行列式：

D=（a0-b0）n（a0-b1）n…（a0-bn）n

（a1-b0）n（a1-b1）n…（a1-bn）n

（an-b0）n（an-b1）n…（an-bn）n.

解 在此行列式中，每一个元素都可以利用二项式定理展开，从而变成乘积的和.根据行列式的乘法规则， D =D1·D2.

其中 D1=C0nC1na0…Cnnan0

C0nC1na1…Cnnan1

C0nC1nan…Cnnann.

D2=bn0bn1…bnn

bn-10bn-11…bn-1n

11…1.

对D2 进行例1中的行的交换，就得到范德蒙行列式，于是：

D=D1·D2=C1nC2n…Cnn1a0…an0

1a1…an1

1an…ann·（-1）n（n+1）2·

11…1

b0b1…bn

bn0bn1…bnn

=C1nC2n…Cnn∏0≤j

=C1nC2n…Cnn∏0≤j

2.用升阶法将所求行列式化为范德蒙行列式

所给的行列式若各行（或列） 元素均为某一元素的不同方幂，但都缺少同一方幂的行列式，可利用升阶法将其转化为范德蒙行列式再求解.

例4 计算n 阶行列式：

D=1x1x21…xn-21xn1

1x2x22…xn-22xn2

1xn-1x2n-1…xn-2n-1xnn-1

1xnx2n…xn-2nxnn.

解 将D 升阶为下面的n + 1 阶行列式：

Δn+1=1x1x21…xn-21xn1

1x2x22…xn-22xn2

1xn-1x2n-1…xn-2n-1xnn-1

1

1xn

xx2n

x2…

…xn-2n

xn-2xnn

xn-1xn1

xn2

xnn-1

xnn

xn.

即插入一行与一列，使Δn +1是关于x1，x2，…，xn的n+1 阶范德蒙行列式， 此处x是变数.于是Δn+1=（x-x1）（x-x2）…（x-xn）∏1≤j

另一方面，將Δn+1按其第n+1行展开，即得 Δn+1=∏1≤j

比较Δn+1中关于xn-1的系数，即得 D=（x1+x2+…+xn）∏1≤j

例5 计算行列式：

D=11…1

x21x22…x2n

x31x32…x3n

xn1xn2…xnn.

解 作n+1阶行列式：

Dn+1=111…1

zx1x2…xn

z2x21x22…x2n

z3x31x32…x3n

znxn1xn2…xnn =∏ni=1（xi-z）∏l≤k

由所作行列式可知z的系数为-D，而由上式可知z的系数为：（-1）2n-1x1x2…xn∑1i=11xi∏n≥j>k≥l（xj-xk）.

通过比较系数得： D=x1x2…xn（∑1i=11xi）∏n≥j>k≥l（xj-xk）

3.用拉普拉斯展开将所求行列式化为范德蒙行列式

用拉普拉斯展开公式 D=M1A1+M2A2+…+MtAt 将所给行列式转化为范德蒙行列式来计算.

例6 计算行列式：

D=10x10…xn-110

010y1…0yn-11

10x20…xn-120

010y2…0yn-12

10xn0…xn-1n0

010yn…0yn-1n.

解 取第1，3，…，2n-1行，第1，3，…，2n-1列展开得：

D=1x1…xn-11

1x2…xn-12

1xn…xn-1n1y1…yn-11

1y2…yn-12

1yn…yn-1n =∏n≥j>i≥l（xj-xi）（yj-yi）.

【参考文献】

[1] 赵强.一类行列式的计算[J].云南民族学院学报（自然科学版），2001，10（3）：385-388.

[2] 冯锡刚.范德蒙行列式在行列式计算中的应用[J].山东轻工业学院学报，2000，14（2）：77-80.

[3] 张文丽.利用范德蒙行列式的结论计算行列式[J].晋东南示范专科学校学报，2003，20（2）：52-53.