李玉梅，査晓明，刘 飞

（武汉大学 电气工程学院，湖北 武汉 430072）

0 引言

由于在可靠性、电能质量和效率等方面优于交流电力系统，直流电力系统受到通信、军舰、工业企业电力系统、商业大厦以及民用住宅等的青睐［1-7］。在微电网设计时选用直流而不是交流的原因是为现在大多数电子负载、能源储存装置以及分布式能源技术采用的是直流电力。作为微电网技术发展的一个重要分支，直流微电网虽然在安全性、输电阻塞和消费成本上优于交流微电网，但是也存在着自身的稳定性问题，尤其是在直流微电网中存在大功率的恒功率负荷时，可能会引起直流母线的不稳定［2，8-11］。

现有的一些文献对直流微电网不稳定机理做了分析，并提出了一些提高稳定性的措施，其中Amr Ahmed A.Radwan等［12］把直流微电网看成一个整体，通过与交流大电网接口变换器的控制器增加有源阻尼信号来改变变换器的等效阻抗，进而提高稳定性。Junming Zhang等［11］针对于带恒功率负荷的级联电力电子系统给出了平衡点稳定的判决条件以及大干扰稳定收敛域的估算方法。Alexis Kwasinski［10］把提高直流级联电力电子系统稳定性的措施分为2类：一类基于硬件补偿，例如增加系统阻抗、增加电容值、减小电感值、增加直流母线储能装置以及卸载等；另一类是基于源侧变换器控制算法实现的，例如采用线性化控制器以及边界控制器，并指出采用传统的PI控制器不能提高系统的稳定性。而Pierre Magne［13］则提出通过对负荷点变换器的参考功率叠加一个容性功率来引入虚拟电容，进而提高系统的稳定性。因此，现有的文献对于稳定性的分析基本上都是基于单个级联电力电子系统的，而直流微电网包含多个分布式电源以及多个负荷，可以看作多个级联系统的耦合，本文正是从多个级联电力电子系统的耦合来研究直流微电网的稳定性问题的。

1 恒功率负荷的不稳定性

典型的直流微电网结构见图1，其中包含大量的电力电子变换装置。当负荷侧变换器与负荷一起工作于恒功率工况时，与源侧变换器级联就会引起不稳定问题。图1所示典型直流微电网，通常含有多个分布式电源、多个恒功率负荷（CPL）（一个典型的直流微电网约含有75%～80%的恒功率负荷、20%～25%的阻性负荷［12］，阻性负荷可以提供正阻尼）。

新能源（如光伏、风电、燃料电池等）或储能设备（如蓄电池、超级电容、飞轮储能等）都需要通过一个DC/DC变换器或AC/DC变换器接入直流微电网，一个简化的级联分布电力系统结构如图2（a）所示，包括分布式能源、源侧变换器、负荷侧变换器，通常源侧变换器工作于恒压控制，用于稳定直流母线电压，而负荷侧变换器工作于恒功率控制，因此与负荷一起可以等效为恒功率负荷。不论是源侧的DC/DC变换器还是AC/DC变换器，其平均开关模型均可简化等效为如图2（b）所示电路，图中二极管表示电流单向流动，R是线路电阻，L是变换器电感，C是直流侧电容，恒功率负荷用电流源iCPL来表示，Rl是恒阻性负荷，iL是输入电流，uC是直流母线电压。

其中，PL是恒功率负荷的功率；ξ是任一比较小的正数。描述图2（a）平均开关模型动态的微分方程为：

因为大多数源侧变换器在额定工况下的效率达到96%以上，所以可假设R=0，系统在平衡点处有即简化后系统的期望动态特性渐近收敛在如下的平衡点上：

图1 直流微电网结构Fig.1 Structure of DC microgrid

图2 带恒功率负荷的级联系统及其简化等效电路Fig.2 Cascaded systems with constant-power loads and corresponding equivalent circuit

式（2）所示系统是一个非线性系统。为了利用李雅普诺夫第一法来分析其在平衡点的稳定性，对式（2）在上述平衡点进行线性化，求其Jacobian矩阵为：

此系统在平衡点渐近稳定的条件是矩阵J的迹trJ满足

为了简化问题，本文仅考虑含有恒功率负荷的情况，即式（2）中，R1=∞。当然对于实际系统，由于杂散和寄生电阻的存在，R≠0，平衡点的稳定性取决于恒功率负荷和杂散电阻的大小，但通常情况下，仅靠杂散电阻来抑制振荡是不够的。PL=2.5 kW，R=0.1 Ω，Ueq=200 V，L=0.5 mH，C=1 mF，建立图 2 的MATLAB/Simulink仿真模型，仿真波形见图3（a）、（b），电感电流和电容电压发生振荡，由图 3（c）的电感电流和电容电压相平面图可看出，电感电流和电容电压稳定在极限环上而非平衡点（200，12.5）上。

图3 带恒功率负荷的级联系统仿真波形Fig.3 Simulative waveforms of cascaded systems with constant-power loads

2 多源直流微电网振荡抑制措施

不失一般性，考虑含2个分布式能源的微电网系统，如图1中风电1和风电2，且带有2个恒功率负荷，见图4，也可看作2个级联系统的耦合。在该系统中，假设2台源侧变换器的参数相同，2个恒功率负荷也相同，忽略线路阻抗，但考虑两级联系统间直流母线电阻为Rcoupling，即假定耦合系数σ=1/Rcoupling。

图4 两源和两恒功率负荷的直流微电网结构Fig.4 Structure of DC microgrid with two sources and two constant-power loads

由文献［14］知，耦合系统稳定性可由线性模型特征值实部的最大值来评估。若特征值实部最大值是负数，则说明所有特征值实部都是负数，系统在平衡点稳定，而该值幅值越大，状态变量收敛速度越快。这样就可对各耦合系统进行稳定性的定量分析。

2.1 简单的耦合系统

假定2个系统之间的耦合电流为：

其中，uC1和uC2分别是源侧变换器1和2的电容电压。

描述这2个耦合系统的动态方程可写为：

耦合系统的平衡点为：

为了研究系统在平衡点的稳定性，考虑其在平衡点线性化后的Jacobian矩阵：

假定 PL1=PL2=PL，Ueq1=Ueq2=Ueq，则特征值为：

特征值λ1，2与σ无关，若为一对共轭复数，其实部是大于零的；若特征值均为实数，则其中的特征值也大于零，所以这个系统在平衡点是不稳定的。因此不论耦合的强弱，系统总是不稳定的，所以可得出结论：2个相同的系统耦合不能改变其在平衡点的稳定性。

2.2 参数多相性对振荡的影响

文献［15］中提到对于2个耦合的系统，如果2个系统对应参数不一致，即参数的多相性，会引起振荡消失。由于在实际制造中，即使设计参数一致，也很难保证2个系统参数完全一致，以源侧变换器滤波电感为例，假定2个源侧变换器的滤波电感分别为：

其中，ε表征2个电感值的差异性，即多相性，可以是生产造成的差异性，也可以是人为设计选取值的不同，增大ε，表示系统的多相性增加。系统的Jacobian矩阵为：

这个矩阵的特征方程是4次的，特征值的解析表达式非常复杂，可以利用劳思-赫尔维茨稳定判据来求取系统稳定的条件，首先计算式（9）矩阵的特征方程，有如下的形式：

稳定的条件是特征方程的各项系数为正，并且有 a1a2-a0a3＞0，以及 a1a2-a0a3＞a12a4/a3。

针对于式（9）系统稳定的条件为：

假定两耦合系统的参数为：PL1=PL2=2.5 kW，R=0，Ueq=200 V，L=0.5 mH，C=1 mF，使系统稳定的σ和ε的取值范围如图5所示阴影部分。从图中也可以看出当ε=0时，即2个参数相同的系统耦合，不管耦合的强弱，系统都是不稳定的（不包含在阴影部分），这与2.1节的结论一致。

图5 使系统稳定的σ和ε的取值范围Fig.5 σ and ε ranges for stabilizing system

如当 σ=0.16 和 ε=0.3 时，λ1，2=-42±j1359，λ3，4=-56±j1289，特征值的实部为负，系统是稳定的，电压电流波形如图6所示，图6（a）中相位超前的波形为 uC1，滞后的波形为 uC2，图 6（b）中振荡幅值大的为iL1，幅值小的为iL2。可见引入参数的多相性，消除了振荡，使2个振荡的耦合系统都收敛于平衡点。图7中阴影部分为可抑制振荡的参数选取值。图7（a）为ε取值0.2、0.3、0.4，σ取不同值时对应特征值实部最大值情况。当σ比较小时，接近非耦合系统，是不稳定的；ε越大使系统收敛的σ的取值范围越大，而对于同样的σ，收敛的速度也越大；当σ比较大时，相当于用理想电缆连接2个系统，没有足够的阻尼，系统也不稳定。图 7（b）为 σ 取值 0.1、0.16、0.2，ε取不同值时对应特征值实部最大值情况，表明只有当多相性系数ε大于一定值时，才能够起到抑制振荡的作用。ε大于一定值时，特征值实部最大值max［Re（λ）］趋于恒定值；σ 越大，使系统收敛的最小的 ε 也越大；但 ε 大于一定值时，σ 越大，-max［Re（λ）］越大，此时系统的收敛速度也越快。

图6 σ=0.16和 ε=0.3对应的电容电压和电感电流波形Fig.6 Capacitor voltage and inductor current waveforms when σ=0.16 and ε =0.3

图7 不同的耦合系数和多相性系数与特征值实部最大值的关系Fig.7 max［Re（λ）］vs. ε and σ

图8给出了特征值实部最大值 max［Re（λ）］与ε－σ 的关系，当 max［Re（λ）］＜0 时，系统在平衡点稳定；max［Re（λ）］＞0，系统不稳定。对于多相性参数 ε的取值，可以通过选取不同的电感值来实现，对于耦合系数σ，取决于两源侧变换器之间的直流母线电阻Rcoupling，而这个电阻取决于母线的长度和材料，通常是不可变的，为了满足设计的需要，可以在负荷侧变换器电流参考值增加控制量来实现，式（7）写为：

图8 特征值实部最大值与ε-σ的关系Fig.8 max［Re（λ）］vs. ε-σ

2.3 延迟耦合消除振荡

2.1 节中得到结论，2个相同的系统耦合不能改变其在平衡点的稳定性，由此引入参数多相性来抑制振荡。参考文献［16］中提到通过延迟耦合也可以使相同频率的振荡环实现振荡消失，并通过实验进行了验证。可以这样理解：对于2个振荡系统通过延迟环节的互相引入，使得每个振荡系统都把当前状态拉向对方延迟的状态，如果有足够的耦合强度和时间延迟，2个振荡器就会渐近收敛到平衡点上。将式（10）方程组第 2 个方程中 uC2（t）用其延迟量 uC2（t-τ）代替，第 4 个方程中的 uC1（t）用其延迟量 uC1（t-τ）代替，考虑延迟耦合，系统的动态方程为：

首先对其进行平衡点的线性化，然后对延迟环节进行处理，假定τ比较小，可以利用 L［uC1（t-τ）］=e-τsuC1（s）≈ （1-τs）uC1（s），其中 L［·］为拉普拉斯算子。参照上面的推导，系统稳定的条件为：

对应MATLAB/Simulink仿真模型如图9所示。

图9 加入延迟耦合的电路原理图Fig.9 Schematic diagram of circuit with delayed coupling

假设 PL1=PL2=2.5 kW，Ueq1=Ueq2=200 V，L1=L2=0.5 mH，C=1 mF，2个系统之间为弱耦合，设Rcoupling=1000 Ω，可近似为2个独立的振荡系统，在0.2 s时采用延迟耦合控制，选取k=15，τ=15×10-5s，由图10（a）、（b）所示的仿真波形可以看出，延迟耦合的作用使2个状态不同步的振荡系统首先达到相位一致，然后收敛于平衡点。如果2个系统为强耦合，Rcoupling=1 Ω，此时的仿真波形如图 10（c）、（d）所示，由于耦合较强，2个系统状态一致，在0.11 s进行延迟耦合控制，能同步收敛于平衡点。

图10 不同Rcoupling时延迟耦合控制仿真波形图Fig.10 Simulative waveforms of delayed coupling control for different Rcoupling

Rcoupling=1 Ω，延迟τ和增益k取不同值时，仿真波形如图11所示，图11（a）、（b）为延迟τ=11×10-5s、k=10时的仿真波形，此时2个系统的电容电压和电感电流仍是振荡的，由于是在强耦合下，两电感电流和电容电压波形均基本一致；保持延迟为11×10-5s不变，增大增益 k=20 时的仿真波形如图 11（c）、（d）所示，此时电容电压和电感电流都收敛到平衡点，系统稳定；保持增益k=10时不变，增大延迟为13×10-5s时的仿真波形如图 11（e）、（f）所示，此时电容电压和电感电流都收敛到平衡点，系统稳定，而且延迟τ和增益k越大，系统收敛也越快。

图11 延迟和增益取不同值时的仿真波形Fig.11 Simulative waveforms for differentτand k

3 结论

直流微电网中含有大量的恒功率负荷，与源侧变换器级联容易引起直流母线电压振荡，给直流微电网的安全稳定运行带来隐患，与传统抑制振荡的方法不同，本文从振荡系统的耦合出发，探讨了抑制振荡的2种方法。2个参数完全一样的振荡系统耦合，通过增强耦合控制并不能抑制振荡，如果引入源侧变换器电感的多相性，并选取合适的耦合系数，可以抑制振荡。文中通过大量计算给出了能够抑制振荡的多相性系数和耦合系数的取值范围，并给出了这2个参数不同取值与系统收敛速度关系的定量分析。第2种方法是不改变系统参数，对耦合控制中的状态进行延迟，延迟量和耦合系数增大到一定值时可以抑制振荡。建立了MATLAB/Simulink仿真模型，仿真波形验证了这2种方法均可以有效地抑制带恒功率负荷的直流微电网振荡。