陈学松

数学作为一门基础性的学科，它的应用是广泛的，可以说它是支撑现代科学的骨架，其他的学科领域等等都是往此骨架中填充血肉.而作为一门相对年轻的学科-经济学，它也是以数学的一些基本假设、基本结论、基本方法为基础的学科.在此，主要讨论数学边际量在经济决策中的一些应用.

考虑两个变量x，y以及两者间函数关系y=f（x）.给定x的增量Δx，y相应变化Δy，则比值ΔyΔx称为变量y相对于变量x的边际量，即x变化一个单位

时y变化的大小.

一、考虑边际量的必要性

1.边际量有助于社会资源的配置

社会资源由于社会资源是稀缺的，其管理就显得尤为重要.稀缺性（scarcity）是指社会拥有的资源是有限的，因此不能生产人们希望所拥有的物品与劳务.

经济学研究的就是如何管理自己的稀缺资源.在大多数社会中，资源是通过千百万家庭和企业共同配置的.因此，经济学家研究人们如何做出决策，他们做多少工作，购买什么，储蓄多少，以至怎样把储蓄用于投资.在这些方面，数学边际量都扮演着十分重要的角色.

从社会角度出发，社会面临着效率与平等的权衡取舍.效率（efficiency）是指社会能以其稀缺资源中得到的最大利益.平等（equality）是指将这些资源的成果平均地分配给社会成员.

比如说，在生产技术既定，可得到的生产要素是一定时，生产者或者说厂商就面临着如何分配生产要素的选择.可以构建一个数学模型：生产可能性边界.在这条曲线上的生产都是有效率的，但从社会总体角度考虑时，在考虑到边界关系时，仍然存在一个最佳的选择.

经济学家通常假设人是理性的.在机会成本为既定的条件下，理性人系统而有目的地尽最大努力去实现其目的.比如说生产者，为实现利润最大化，它们要决定雇佣多少工人和制造并出售多少产品；抑或是个人，他们要决定把多少时间用于工作，并用赚到的钱购买什么物品与劳务，以便获得最大可能的满足.

理性人知道，生活的许多决策很少是黑与白的选择，而往往是介于其间.经济学家用边际变动（marginal change）这个术语来描述对现有行动计划的微小增量调整，也就是对数学边际量的考查.理性人通常通过比较边际收益（marginal revenue）与边际成本（marginal cost）来做出决策.

2.边际量有助于解释一些经济现象

比较经典的：为什么水这么便宜，而钻石如此昂贵？人需要水来维持生存，而钻石并不是不可或缺的；但由于某种原因，人们愿意为钻石支付的钱要远远高于水.原因在于一个人对任何一种物品的支付意愿都基于其边际利益，即物品产生的额外利益.反过来，边际收益又取决于一个人拥有多少这种物品.水是不可或缺的，但增加一杯水的边际利益是微不足道的，因为水太多了，与此相反，并没有一个人需要用钻石来维持生存，但由于钻石太少，人们认为增加一单位钻石的边际利益是很大的.

当且仅当一种行为的边际收益大于边际成本时，一个理性决策者会采取这种行为.

我们如何应用数学边际量？

二、数学边际量在经济决策中的一些应用

以下分别就消费者和生产者进行讨论分析.

1.在消费者行为中的应用

消费者购买一种物品或劳务都是为了满足某些需要或需求，但是又会收到自身可支配收入的限制.如何使自己的满足程度达到最大，又不超出可支配收入的范围.这时，理性的人就会考虑到数学边际量.

在经济学中，经济学家用效用来衡量商品对于人的满足程度.现在的学术界占主流的是序数效用论，也就是将个人的喜好进行排序.比如说有可乐让你选择，你最喜欢可口可乐，然后是百事可乐，接着才是娃哈哈的可乐.即用第一、第二等等来衡量商品对于消费者的满足程度.序数效用论者用无差异曲线分析方法来考查消费者的行为.序数效用论者认为，商品给消费者带来的效用大小，应用顺序或等级来表示.为此，序数效用论者提出了消费者偏好的概念，就是爱好或喜欢的意思.

序数效用论者认为，对于多种不同的组合，消费者的偏好程度是有差别的，正是这种偏好程度的差别，反映了消费者对这些不同的商品组合的效用水平的评价.为此，引入无差异曲线，它是用来表示消费者偏好相同的两种商品的所有组合.或者说，它是表示能够给消费者带来相同的效用水平或满足程度的两种商品的所有组合.

在此，我们可以引入效用函数以表示某一商品的组合给消费者所带来的效用水平.u=f（x1，x2），x1，x2 分别为两种商品的数量，u为效用水平.

在维持效用水平不变的前提下，消费者增加一单位某种商品的消费数量时所要放弃的另一种商品的数量，被称为商品的边际替代率，记为MRS12.即增加一单位1所放弃的2的单位数.

消费的决策要达到最好的效果及目的，必须满足两个条件：第一，最优的商品购买组合必须是消费者最偏好的组合.也就是说最优的商品购买组合必须是能够给消费者带来最大效用的商品组合.第二，最优的商品购买组合必须位于给定的预算线上.

2.在生产者行为中的应用

作为生产者，通常情况下，都是以追求最大利润为目的的.

当生产者面临着两种或多种生产要素的搭配组合时，同时有一定的约束条件下，他们的选择将是尽可能使产品产量达到最大化，这类似于消费者追求最大效用的选择，故在此，不做详细讨论.同样是要考虑边际量的作用.

着重讨论不同市场中，厂商如何利用数学边际量以使利润达到最大化.

先介绍一下市场的类型：完全竞争市场，垄断竞争，寡头垄断，垄断市场.

完全竞争市场即有许多买者和卖者，以至于每个人对市场价格的影响忽略的市场.垄断竞争指存在许多出售相似或不相同产品的企业的市场结构.寡头垄断市场即只有几个提供相似或相同产品的卖者的市场结构.垄断市场是指整个行业中只有唯一的一个厂商的市场结构.

我们先整体上分析一下厂商如何进行决策，然后根据具体不同市场的具体特征进行分析.

先建立模型，设厂商的总收益（TR）是产量的函数即TR（Q），（Q为产量），总成本（TC）亦为产量的函数即TC（Q），则厂商的利润π可用数学算式表示，π=TR-TC.那么厂商所要求的最大利润即为π的最大值，由于TR，TC均是Q的函数，且在现实的区间的定义域上是连续的，所以π的最大值可以通过π关于Q的一阶导函数来求出，当然此处略去对二阶导函数的一些讨论.那么最值的条件即为πQ=0，即dTRdQ-dTCdQ=0，即MR=MC.即当厂商的边际收益等于边际成本的时候，利润达到最大或者亏损最小.

对于不同厂商而言，这个条件在所有的市场决策中都是有用的.只是由于不同市场厂商的影响力的不同而形式有所变化.

先讨论一下完全竞争市场，由于是完全竞争市场，作为生产者是没有权力去定价格的，即对价格的影响理论上说是没有的.所以他们只能被动地接受市场价格p（p为一定值），则对任一生产者而言，他的收益函数TR=pQ，则他的边际收益即为p.他所能做的就是调整产品的产量Q，以使自己的边际成本等于单价，即MR=MC=p，这样才能让自己的利润达到最大或者损失最小.

再来讨论垄断市场下的厂商如何决策的.正如比尔·盖茨曾经说过，我们并没有垄断，只不过在电脑操作系统这一领域，我们是游戏规则的唯一制定者.作为游戏的唯一参与者，他们就拥有着相当大的权力，他们可以制定自己所出售商品的价格，限制产品的数量.当然，他们最终的目的是不变的，依旧是追寻最大利润，只是自主性更强，影响更大.当然他们决策的出发点和依据依旧是成本和收益的边际量.

由于垄断竞争者牵扯到较多生产者，面临太多变化，此处不做详细讨论，同时，寡头垄断生产的决策与博弈论（Game Theory）、纳什均衡（Nash Equilibrium）及占优策略（Dominant Equilibrium）等理论相关，在此也不做详细讨论，但是他们在做决策时，均会运用到数学边际量.

不管是考虑消费者消费行为，还是生产者生产行为，数学边际量都起着十分重要的作用.当然，数学边际量在经济学中还有更广泛的应用.

数学作为一门基础性的学科，它的应用是广泛的，可以说它是支撑现代科学的骨架，其他的学科领域等等都是往此骨架中填充血肉.而作为一门相对年轻的学科-经济学，它也是以数学的一些基本假设、基本结论、基本方法为基础的学科.在此，主要讨论数学边际量在经济决策中的一些应用.

考虑两个变量x，y以及两者间函数关系y=f（x）.给定x的增量Δx，y相应变化Δy，则比值ΔyΔx称为变量y相对于变量x的边际量，即x变化一个单位

时y变化的大小.

一、考虑边际量的必要性

1.边际量有助于社会资源的配置

社会资源由于社会资源是稀缺的，其管理就显得尤为重要.稀缺性（scarcity）是指社会拥有的资源是有限的，因此不能生产人们希望所拥有的物品与劳务.

经济学研究的就是如何管理自己的稀缺资源.在大多数社会中，资源是通过千百万家庭和企业共同配置的.因此，经济学家研究人们如何做出决策，他们做多少工作，购买什么，储蓄多少，以至怎样把储蓄用于投资.在这些方面，数学边际量都扮演着十分重要的角色.

从社会角度出发，社会面临着效率与平等的权衡取舍.效率（efficiency）是指社会能以其稀缺资源中得到的最大利益.平等（equality）是指将这些资源的成果平均地分配给社会成员.

比如说，在生产技术既定，可得到的生产要素是一定时，生产者或者说厂商就面临着如何分配生产要素的选择.可以构建一个数学模型：生产可能性边界.在这条曲线上的生产都是有效率的，但从社会总体角度考虑时，在考虑到边界关系时，仍然存在一个最佳的选择.

经济学家通常假设人是理性的.在机会成本为既定的条件下，理性人系统而有目的地尽最大努力去实现其目的.比如说生产者，为实现利润最大化，它们要决定雇佣多少工人和制造并出售多少产品；抑或是个人，他们要决定把多少时间用于工作，并用赚到的钱购买什么物品与劳务，以便获得最大可能的满足.

理性人知道，生活的许多决策很少是黑与白的选择，而往往是介于其间.经济学家用边际变动（marginal change）这个术语来描述对现有行动计划的微小增量调整，也就是对数学边际量的考查.理性人通常通过比较边际收益（marginal revenue）与边际成本（marginal cost）来做出决策.

2.边际量有助于解释一些经济现象

比较经典的：为什么水这么便宜，而钻石如此昂贵？人需要水来维持生存，而钻石并不是不可或缺的；但由于某种原因，人们愿意为钻石支付的钱要远远高于水.原因在于一个人对任何一种物品的支付意愿都基于其边际利益，即物品产生的额外利益.反过来，边际收益又取决于一个人拥有多少这种物品.水是不可或缺的，但增加一杯水的边际利益是微不足道的，因为水太多了，与此相反，并没有一个人需要用钻石来维持生存，但由于钻石太少，人们认为增加一单位钻石的边际利益是很大的.

当且仅当一种行为的边际收益大于边际成本时，一个理性决策者会采取这种行为.

我们如何应用数学边际量？

二、数学边际量在经济决策中的一些应用

以下分别就消费者和生产者进行讨论分析.

1.在消费者行为中的应用

消费者购买一种物品或劳务都是为了满足某些需要或需求，但是又会收到自身可支配收入的限制.如何使自己的满足程度达到最大，又不超出可支配收入的范围.这时，理性的人就会考虑到数学边际量.

在经济学中，经济学家用效用来衡量商品对于人的满足程度.现在的学术界占主流的是序数效用论，也就是将个人的喜好进行排序.比如说有可乐让你选择，你最喜欢可口可乐，然后是百事可乐，接着才是娃哈哈的可乐.即用第一、第二等等来衡量商品对于消费者的满足程度.序数效用论者用无差异曲线分析方法来考查消费者的行为.序数效用论者认为，商品给消费者带来的效用大小，应用顺序或等级来表示.为此，序数效用论者提出了消费者偏好的概念，就是爱好或喜欢的意思.

序数效用论者认为，对于多种不同的组合，消费者的偏好程度是有差别的，正是这种偏好程度的差别，反映了消费者对这些不同的商品组合的效用水平的评价.为此，引入无差异曲线，它是用来表示消费者偏好相同的两种商品的所有组合.或者说，它是表示能够给消费者带来相同的效用水平或满足程度的两种商品的所有组合.

在此，我们可以引入效用函数以表示某一商品的组合给消费者所带来的效用水平.u=f（x1，x2），x1，x2 分别为两种商品的数量，u为效用水平.

在维持效用水平不变的前提下，消费者增加一单位某种商品的消费数量时所要放弃的另一种商品的数量，被称为商品的边际替代率，记为MRS12.即增加一单位1所放弃的2的单位数.

消费的决策要达到最好的效果及目的，必须满足两个条件：第一，最优的商品购买组合必须是消费者最偏好的组合.也就是说最优的商品购买组合必须是能够给消费者带来最大效用的商品组合.第二，最优的商品购买组合必须位于给定的预算线上.

2.在生产者行为中的应用

作为生产者，通常情况下，都是以追求最大利润为目的的.

当生产者面临着两种或多种生产要素的搭配组合时，同时有一定的约束条件下，他们的选择将是尽可能使产品产量达到最大化，这类似于消费者追求最大效用的选择，故在此，不做详细讨论.同样是要考虑边际量的作用.

着重讨论不同市场中，厂商如何利用数学边际量以使利润达到最大化.

先介绍一下市场的类型：完全竞争市场，垄断竞争，寡头垄断，垄断市场.

完全竞争市场即有许多买者和卖者，以至于每个人对市场价格的影响忽略的市场.垄断竞争指存在许多出售相似或不相同产品的企业的市场结构.寡头垄断市场即只有几个提供相似或相同产品的卖者的市场结构.垄断市场是指整个行业中只有唯一的一个厂商的市场结构.

我们先整体上分析一下厂商如何进行决策，然后根据具体不同市场的具体特征进行分析.

先建立模型，设厂商的总收益（TR）是产量的函数即TR（Q），（Q为产量），总成本（TC）亦为产量的函数即TC（Q），则厂商的利润π可用数学算式表示，π=TR-TC.那么厂商所要求的最大利润即为π的最大值，由于TR，TC均是Q的函数，且在现实的区间的定义域上是连续的，所以π的最大值可以通过π关于Q的一阶导函数来求出，当然此处略去对二阶导函数的一些讨论.那么最值的条件即为πQ=0，即dTRdQ-dTCdQ=0，即MR=MC.即当厂商的边际收益等于边际成本的时候，利润达到最大或者亏损最小.

对于不同厂商而言，这个条件在所有的市场决策中都是有用的.只是由于不同市场厂商的影响力的不同而形式有所变化.

先讨论一下完全竞争市场，由于是完全竞争市场，作为生产者是没有权力去定价格的，即对价格的影响理论上说是没有的.所以他们只能被动地接受市场价格p（p为一定值），则对任一生产者而言，他的收益函数TR=pQ，则他的边际收益即为p.他所能做的就是调整产品的产量Q，以使自己的边际成本等于单价，即MR=MC=p，这样才能让自己的利润达到最大或者损失最小.

再来讨论垄断市场下的厂商如何决策的.正如比尔·盖茨曾经说过，我们并没有垄断，只不过在电脑操作系统这一领域，我们是游戏规则的唯一制定者.作为游戏的唯一参与者，他们就拥有着相当大的权力，他们可以制定自己所出售商品的价格，限制产品的数量.当然，他们最终的目的是不变的，依旧是追寻最大利润，只是自主性更强，影响更大.当然他们决策的出发点和依据依旧是成本和收益的边际量.

由于垄断竞争者牵扯到较多生产者，面临太多变化，此处不做详细讨论，同时，寡头垄断生产的决策与博弈论（Game Theory）、纳什均衡（Nash Equilibrium）及占优策略（Dominant Equilibrium）等理论相关，在此也不做详细讨论，但是他们在做决策时，均会运用到数学边际量.

不管是考虑消费者消费行为，还是生产者生产行为，数学边际量都起着十分重要的作用.当然，数学边际量在经济学中还有更广泛的应用.

数学作为一门基础性的学科，它的应用是广泛的，可以说它是支撑现代科学的骨架，其他的学科领域等等都是往此骨架中填充血肉.而作为一门相对年轻的学科-经济学，它也是以数学的一些基本假设、基本结论、基本方法为基础的学科.在此，主要讨论数学边际量在经济决策中的一些应用.

考虑两个变量x，y以及两者间函数关系y=f（x）.给定x的增量Δx，y相应变化Δy，则比值ΔyΔx称为变量y相对于变量x的边际量，即x变化一个单位

时y变化的大小.

一、考虑边际量的必要性

1.边际量有助于社会资源的配置

社会资源由于社会资源是稀缺的，其管理就显得尤为重要.稀缺性（scarcity）是指社会拥有的资源是有限的，因此不能生产人们希望所拥有的物品与劳务.

经济学研究的就是如何管理自己的稀缺资源.在大多数社会中，资源是通过千百万家庭和企业共同配置的.因此，经济学家研究人们如何做出决策，他们做多少工作，购买什么，储蓄多少，以至怎样把储蓄用于投资.在这些方面，数学边际量都扮演着十分重要的角色.

从社会角度出发，社会面临着效率与平等的权衡取舍.效率（efficiency）是指社会能以其稀缺资源中得到的最大利益.平等（equality）是指将这些资源的成果平均地分配给社会成员.

比如说，在生产技术既定，可得到的生产要素是一定时，生产者或者说厂商就面临着如何分配生产要素的选择.可以构建一个数学模型：生产可能性边界.在这条曲线上的生产都是有效率的，但从社会总体角度考虑时，在考虑到边界关系时，仍然存在一个最佳的选择.

经济学家通常假设人是理性的.在机会成本为既定的条件下，理性人系统而有目的地尽最大努力去实现其目的.比如说生产者，为实现利润最大化，它们要决定雇佣多少工人和制造并出售多少产品；抑或是个人，他们要决定把多少时间用于工作，并用赚到的钱购买什么物品与劳务，以便获得最大可能的满足.

理性人知道，生活的许多决策很少是黑与白的选择，而往往是介于其间.经济学家用边际变动（marginal change）这个术语来描述对现有行动计划的微小增量调整，也就是对数学边际量的考查.理性人通常通过比较边际收益（marginal revenue）与边际成本（marginal cost）来做出决策.

2.边际量有助于解释一些经济现象

比较经典的：为什么水这么便宜，而钻石如此昂贵？人需要水来维持生存，而钻石并不是不可或缺的；但由于某种原因，人们愿意为钻石支付的钱要远远高于水.原因在于一个人对任何一种物品的支付意愿都基于其边际利益，即物品产生的额外利益.反过来，边际收益又取决于一个人拥有多少这种物品.水是不可或缺的，但增加一杯水的边际利益是微不足道的，因为水太多了，与此相反，并没有一个人需要用钻石来维持生存，但由于钻石太少，人们认为增加一单位钻石的边际利益是很大的.

当且仅当一种行为的边际收益大于边际成本时，一个理性决策者会采取这种行为.

我们如何应用数学边际量？

二、数学边际量在经济决策中的一些应用

以下分别就消费者和生产者进行讨论分析.

1.在消费者行为中的应用

消费者购买一种物品或劳务都是为了满足某些需要或需求，但是又会收到自身可支配收入的限制.如何使自己的满足程度达到最大，又不超出可支配收入的范围.这时，理性的人就会考虑到数学边际量.

在经济学中，经济学家用效用来衡量商品对于人的满足程度.现在的学术界占主流的是序数效用论，也就是将个人的喜好进行排序.比如说有可乐让你选择，你最喜欢可口可乐，然后是百事可乐，接着才是娃哈哈的可乐.即用第一、第二等等来衡量商品对于消费者的满足程度.序数效用论者用无差异曲线分析方法来考查消费者的行为.序数效用论者认为，商品给消费者带来的效用大小，应用顺序或等级来表示.为此，序数效用论者提出了消费者偏好的概念，就是爱好或喜欢的意思.

序数效用论者认为，对于多种不同的组合，消费者的偏好程度是有差别的，正是这种偏好程度的差别，反映了消费者对这些不同的商品组合的效用水平的评价.为此，引入无差异曲线，它是用来表示消费者偏好相同的两种商品的所有组合.或者说，它是表示能够给消费者带来相同的效用水平或满足程度的两种商品的所有组合.

在此，我们可以引入效用函数以表示某一商品的组合给消费者所带来的效用水平.u=f（x1，x2），x1，x2 分别为两种商品的数量，u为效用水平.

在维持效用水平不变的前提下，消费者增加一单位某种商品的消费数量时所要放弃的另一种商品的数量，被称为商品的边际替代率，记为MRS12.即增加一单位1所放弃的2的单位数.

消费的决策要达到最好的效果及目的，必须满足两个条件：第一，最优的商品购买组合必须是消费者最偏好的组合.也就是说最优的商品购买组合必须是能够给消费者带来最大效用的商品组合.第二，最优的商品购买组合必须位于给定的预算线上.

2.在生产者行为中的应用

作为生产者，通常情况下，都是以追求最大利润为目的的.

当生产者面临着两种或多种生产要素的搭配组合时，同时有一定的约束条件下，他们的选择将是尽可能使产品产量达到最大化，这类似于消费者追求最大效用的选择，故在此，不做详细讨论.同样是要考虑边际量的作用.

着重讨论不同市场中，厂商如何利用数学边际量以使利润达到最大化.

先介绍一下市场的类型：完全竞争市场，垄断竞争，寡头垄断，垄断市场.

完全竞争市场即有许多买者和卖者，以至于每个人对市场价格的影响忽略的市场.垄断竞争指存在许多出售相似或不相同产品的企业的市场结构.寡头垄断市场即只有几个提供相似或相同产品的卖者的市场结构.垄断市场是指整个行业中只有唯一的一个厂商的市场结构.

我们先整体上分析一下厂商如何进行决策，然后根据具体不同市场的具体特征进行分析.

先建立模型，设厂商的总收益（TR）是产量的函数即TR（Q），（Q为产量），总成本（TC）亦为产量的函数即TC（Q），则厂商的利润π可用数学算式表示，π=TR-TC.那么厂商所要求的最大利润即为π的最大值，由于TR，TC均是Q的函数，且在现实的区间的定义域上是连续的，所以π的最大值可以通过π关于Q的一阶导函数来求出，当然此处略去对二阶导函数的一些讨论.那么最值的条件即为πQ=0，即dTRdQ-dTCdQ=0，即MR=MC.即当厂商的边际收益等于边际成本的时候，利润达到最大或者亏损最小.

对于不同厂商而言，这个条件在所有的市场决策中都是有用的.只是由于不同市场厂商的影响力的不同而形式有所变化.

先讨论一下完全竞争市场，由于是完全竞争市场，作为生产者是没有权力去定价格的，即对价格的影响理论上说是没有的.所以他们只能被动地接受市场价格p（p为一定值），则对任一生产者而言，他的收益函数TR=pQ，则他的边际收益即为p.他所能做的就是调整产品的产量Q，以使自己的边际成本等于单价，即MR=MC=p，这样才能让自己的利润达到最大或者损失最小.

再来讨论垄断市场下的厂商如何决策的.正如比尔·盖茨曾经说过，我们并没有垄断，只不过在电脑操作系统这一领域，我们是游戏规则的唯一制定者.作为游戏的唯一参与者，他们就拥有着相当大的权力，他们可以制定自己所出售商品的价格，限制产品的数量.当然，他们最终的目的是不变的，依旧是追寻最大利润，只是自主性更强，影响更大.当然他们决策的出发点和依据依旧是成本和收益的边际量.

由于垄断竞争者牵扯到较多生产者，面临太多变化，此处不做详细讨论，同时，寡头垄断生产的决策与博弈论（Game Theory）、纳什均衡（Nash Equilibrium）及占优策略（Dominant Equilibrium）等理论相关，在此也不做详细讨论，但是他们在做决策时，均会运用到数学边际量.

不管是考虑消费者消费行为，还是生产者生产行为，数学边际量都起着十分重要的作用.当然，数学边际量在经济学中还有更广泛的应用.