马江明，何承源*

(西华大学 数学与计算机学院，成都 610039)

首加尾分块循环矩阵的性质研究

马江明，何承源*

(西华大学 数学与计算机学院，成都 610039)

给出首加尾分块循环矩阵的定义，得到了首加尾分块循环矩阵的矩阵表示多项式，并对其研究得到了三个首加尾分块循环矩阵的充要条件，同时获得它的数乘、和、差、乘积、幂、伴随矩阵仍然是首加尾分块循环矩阵，最后给出判断奇异性与非奇异性的一个充要条件。

定义;首加尾分块循环矩阵;充要条件;奇异性

循环矩阵是一类非常重要的特殊矩阵，在纠错码理论、信号处理、图像处理、自回归滤波器设计等方面有广泛的应用。因此关于循环矩阵的研究十分活跃。本文在文献［1-5］的基础上提出首加尾分块循环矩阵的概念，并给出了首加尾分块循环矩阵的一些充要条件，以及判断奇异性的充要条件。

引理［6］设A和B分别是m×n和p×q阶的矩阵，则称分块矩阵

为A与 B的 Kronecker积，简记为 A⊗B。同时，Kronecker积有如下性质:1)A⊗(B+C)=(A⊗B)+(A⊗C);2)(A⊗B)(C⊗D)=(AC)⊗(BD)。

1 首加尾分块循环矩阵的概念

定义 1 设 A0，A1，…，An-2，An-1均为 m 阶矩阵，称具有下列形式nm的阶矩阵

为首加尾分块循环矩阵，简记为FALBCM(A0，A1，…，An-1)(下同)。

定义2 设Im为m阶单位矩阵，则称具有下列形式的nm阶矩阵为基本首加尾分块循环矩阵，其中πn=Inm+π，则π的形式特征多项式g(x)=xnIm-xIm-Im(下同)。

2 主要结论

定理 1 A=FLSBCM(A0，A1，…，An-1)的充要条件为A=f(π)。

证明 由定义1和引理可以直接验证。

定理2 A为首加尾分块循环矩阵的充要条件是Aπ=πA。

设

即A为首加尾分块循环矩阵。

推论1 若A，B为首加尾分块循环矩阵，则kA、A±B、AB、Ak也为首加尾分块循环矩阵。……