张立卓

(对外经济贸易大学 统计学院，北京 100029)

众所周知，在复数域C上，若设n阶矩阵A的不同的特征值为λ1,λ2,…,λt，其重数分别为ki(i=1,2,…,t)，则k1+k2+…+kt=n.关于矩阵A与对角矩阵相似有下列等价命题：

(i)n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A可对角化)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.

(ii)n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A的对应于特征值λi(i=1,2,…,t)的线性无关特征向量的个数都恰好等于其重数ki.

(iii)n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A的对应于ki重特征值λi(i=1,2,…,t)，秩r(λiE-A)=n-ki.

下面通过示例介绍上述关于矩阵对角化的判别方法在具体问题中的使用.

例1设实数域上n维向量空间n(n≥3)中的向量α，且αTα=a，矩阵A=ααT，求可逆矩阵P，使P-1AP=Λ，并写出该对角矩阵Λ.

分析 要找出A的n个线性无关的特征向量，可先考查α，再考查与α正交的向量.

解由题设，AT=(ααT)T=ααT=A，A为实对称矩阵，必相似于对角矩阵.

(i) 如果αTα=a=0，即α=0，则A=ααT=O. 于是取任一n阶可逆矩阵P，有

(ii) 如果αTα=a>0，即α≠0，则

Aα=(ααT)α=α(αTα)=aα，

所以λ1=a为A的一个特征值，α为对应λ1=a的线性无关的特征向量.设β=(x1,x2,…,xn)T∈n，建立齐次线性方程组，

αTβ=0.

因r(αT)=1可知，其基础解系应含n-1个解向量，设其分别为β2,β3,…,βn，满足

αTβ2=αTβ3=…=αTβn=0，

从而

Aβi=(ααT)βi=α(αTβi)=0=0βi(i=2,3,…,n)，

所以λ2=0为A的又一特征值，β2,β3,…,βn为对应λ2=0的线性无关的特征向量，因此特征值λ2=0的重数应为n-1.又因为矩阵的属于不同特征值的线性无关特征向量必线性无关，即α,β2,β3,…,βn线性无关，令矩阵P=(α，β2，β3，…，βn)，则P为n阶可逆矩阵，且使

拓展 如果设矩阵B=kE+lA=kE+lααT，E为n阶单位矩阵，k,l为任意非零实常数，αTα=a(a>0)，则同理可推得B可对角化，且

P1为本例所求的可逆矩阵.

注 事实上，若n阶矩阵A相似于对角矩阵，即存在一个可逆矩阵P，使

A的多项式为……