刘文丽， 吕书龙

(福州大学 数学与计算机科学学院, 福建 福州 350116)

1 引 言

假设检验是统计中常见的一种解决问题的手段.很多的实际问题要通过非参数假设检验加以解决.众所周知，非参数假设检验的一个核心问题是构造与秩有关的统计量，如检验对称性的符号秩统计量W+，揭示非线性相关性的Spearman和Kendall相关系数等.一般的教材会给出固定的分位数表来确定检验临界值，进而对检验作出判断[1-4]，但极少会涉及这些统计量的构造、分位点和概率的计算问题.文献[5]提出了计算W+概率的一种多项式方法.但是随着样本量n的增大，这些秩统计量的概率和分位点的计算变得极为困难，目前常见的做法是通过统计量的渐进正态分布来取得所需的近似结果[1].

本文从秩统计量的构造出发，导出秩统计量与排列组合的等价关系，进而提出秩统计量概率分布的一种递推公式.递推公式很容易转成递归函数，因此容易编程实现，也便于教学上的理解和实际应用.

2 定义和性质

假设x1,x2,…,xn是来自总体X的一个样本，为讨论方便，设总体X服从某一连续分布.

定义1设xi各不相等，从小到大排序成x(1)

定义2设|xi|各不相等，以绝对值从小到大排序成|x(1)|<|x(2)|<…<|x(n)|. 若|xi|=|x(Ri)|, 则称xi的绝对秩为Ri,其中Ri=1,2,…,n.

(1)

(2)

其中tn(d)表示从1,2,…,n这n个数中任取若干个数(包括0个)，其和恰为d的取法种数.

对于假设检验问题，H0：总体X的对称中心为原点.当H0成立时，W+的分布关于n(n+1)/4对称，且当n充分大时，W+服从N(n(n+1)/4,n(n+1)(2n+1)/24)的渐进正态分布.

定义3设样本x1,x2,…,xn来自总体X，样本y1,y2,…,ym来自总体Y，记N=n+m,并记xi在合样本……