戴中林

(西华师范大学 数学与信息学院 四川 南充 637002)

众所周知，求解矩阵方程AX=B时，当A为可逆方阵，则解X=A-1B；当A为不可逆方阵或为长方矩阵时，A-1失去意义.为此我们利用广义逆矩阵A-(减号逆)的概念[1-3]，将求逆矩阵运算进行推广，使得无论A是何种矩阵，A-均有意义. 这时矩阵方程AX=B的解都为X=A-B，当A-为A的全部广义逆时，X=A-B为通解.特别地，当B为n维列向量时，该解即为线性方程组AX=B的通解.

1 广义逆矩阵A-(减号逆)的定义

定义设矩阵A为m×n矩阵，若存在n×m矩阵G，使得AGA=A，则称G为A的一个广义逆矩阵，记为G=A-.即有AA-A=A.

一般情况下，满足定义的A-不是唯一的.一般可求出矩阵A的一个或全部广义逆矩阵.

2 广义逆矩阵A-的计算方法

2.1 求矩阵A的一个广义逆A-的公式计算法

定理2.1设A为m×n的行满秩矩阵，即秩rA=m

A-=AT(AAT)-1.

证因为A为m×n矩阵，则AT为n×m矩阵，故矩阵AAT为m阶可逆方阵，有

AAT(AAT)-1=Em，

等式两边右乘矩阵A，得A[AT(AAT)-1]A=A，故由广义逆矩阵的定义有惟一个广义逆矩阵

A-=AT(AAT)-1.

解应用上述公式可求得A的一个广义逆

2.2 求矩阵A的全部广义逆A-的初等变换法

证由广义逆定义即得

即R-=RT.

P-1RQ-1A-P-1RQ-1=P-1RQ-1， 即R(Q-1A-P-1)R=R.

由广义逆的定义及引理得Q-1A-P-1=R-=RT，即得A-=QRTP.

定理2.3矩阵A的全部广义逆矩阵为

其中Y1,Y2,Y3为自由未知量矩阵，总共包含m·n-r2个自由未知量.

成立.故本定理成立.

解对矩阵A先后进行行及列的初等变换，即

3 广义逆矩阵A-的应用

3.1 利用矩阵A的一个广义逆A-，求矩阵方程AX=B的通解

定理3.1若A-是A的一个广义逆矩阵，则矩阵方程AX=B的通解为

X=A-B+(En-A-A)Y.

证首先证明矩阵方程AX=O的通解为X=(En-A-A)Y.

因为A-是A的一个广义逆矩阵，A-A是一个n阶方阵，由定义AA-A=A，即有A(En-A-A)=O.若令n阶方……