谢启鸿

(复旦大学 数学科学学院，上海 200433)

首先, 我们列举多项式理论中的两个基本结果.

引理1设f(x)是域上的n(n≥1)次多项式, 则f(x)在中至多只有n个根.

引理2设f(x)与g(x)是域上次数不超过n的两个多项式, 如果存在中n+1个不同的数b1,…,bn+1使得f(bi)=g(bi), 1≤i≤n+1, 则f(x)=g(x).

引理1和引理2的证明如果是数域, 引理1和引理2分别是教材[1]的命题5.5.1和推论5.5.1. 如果是一般的域, 则上的一元多项式环[x]是欧氏整区, 从而是唯一分解整区 (可参考教材[2]的第3.7节). 利用多项式f(x)的不可约因式分解即可证明引理1, 而引理2则是引理1的简单推论.

摄动法是矩阵理论中的常用方法, 它利用连续函数的性质将一般矩阵问题的讨论转化为对非异阵的讨论. 我们将摄动法的原理描述如下. 设A是数域上的n阶方阵, 则行列式|tIn+A|是关于未定元t的n次首一多项式. 由引理1知, |tIn+A|在中至多只有n个根. 因为任一数域都包含有理数域, 所以可以在中取到一列有理数tk→0, 使得tkIn+A都是非异阵. 如果一个矩阵问题对非异阵成立, 特别地对tkIn+A成立, 并且关于tk连续, 则最后可让tk→0, 得到该问题对一般的方阵A也成立.

注 摄动法处理的矩阵问题一定要关于tk连续, 这一点十分重要, 否则将不能用摄动法来归结处理. 一般来说, 运用摄动法的步骤分为两步, 即先处理非异阵的情形, 然后再利用摄动以及取极限得到一般情形的证明.

下面我们先举一个简单的例子来说明摄动法的应用.

例1设为数域,A,B∈Mn(), 证明(AB)*=B*A*, 其中A*为A的伴随阵.

证若A,B均为非异阵, 则A*=|A|A-1,B*=|B|B-1, 从而

(AB)*=|AB|(AB)-1=|A||B|(B-1A-1)=(|B|B-1)(|A|A-1)=B*A*.

对于一般的方阵A,B, 可在中取到……