赵 越 丁晓岩 吴 磊

(1:吉林建筑大学计算机科学与工程学院,长春 130118; 2:通化市东昌区江东乡中心小学,通化 134000)

0 引言

反问题是一类由输出结果反求原象的应用类数学问题.其具有非常广泛的理论研究和工程应用背景,近年来已经成为数学、地球物理、系统工程等学科交叉融合的研究热点之一[1-2].要完成数学物理反问题的求解并非易事,原因如下：① 由于噪声或客观观测条件的限制,原始数据所在的数据集合可能不属于问题精确解所在的集合；② 近似解可能不够稳定,也就是说较小的观测误差也可能引起近似解较大偏离真解[3-4].也就是说,数学物理反问题往往为不适定问题.而正则化方法正是解不适定问题的一种重要的手段.对正则化方法进行研究就很有意义.

1 变分正则化方法及稳定性研究

若要求解如下的算子方程:

Az=u,z∈F,u∈U

(1)

算子A连续,为度量空间(F,ρF)到(U,ρU)的映射.但A-1存在但不连续.由于解的唯一性满足,而解的存在性、稳定性无法保证,所以方程(1)的求解为不适定问题.

现在考虑方程右端项uT的准确解zT:

AzT=uT,zT∈F,uT∈U

(2)

由于得到的实际观测值与uT有一定差异,故我们只能得到近似值uδ.这里要求ρU(uT,uδ)≤δ,其中，非负值δ为误差水平.现在问题就转化为在已知误差水平δ的前提下,求方程(1)的近似解.季洪诺夫最早提出了由正则化算子得到近似解的方法.

定义1 现有一个由度量空间U到F的算子P(u,α),其依赖于大于零的参数α.若它满足以下两个条件,则称其为方程(1)在u=uT邻域内的正则化算子.

(1) ∀δ′>0,算子P(u,α)(α>0)对所有符合ρU(u,uδ)≤δ≤δ′条件的任意u∈U均有定义；