梅 芳，刘 章，曾春华

(江西农业大学理学院，330046,南昌)

二阶亚纯函数系数非齐次线性微分方程解的超级

梅 芳，刘 章，曾春华

(江西农业大学理学院，330046,南昌)

研究了二阶亚纯函数系数非齐次线性微分方程f″+Af′+Bf=F解的超级不同零点收敛指数。当其系数满足一定的条件时，得到方程解的超级零点收敛指数的精确的估计。

亚纯函数；非齐次线性微分方程；超级不同零点收敛指数

1 背景

在文献[4]中，得到了下面的引理。

引理A：设A、B、F≢0为有限级亚纯函数，A、B为超越的，且满足

σ(A)<σ(B)<∞

(1)

和

(2)

若方程

f″+Af′+Bf=F

(3)

有亚纯解，则

2 引理

引理1[6]：假设g(z)为亚纯函数，σ(g)=β<+∞，那么对任意给定的ε>0，存在一个线测度和对数测度都为有穷的集合E1⊂(1,+∞)，使当|z|=r∉[0,1]∪E1,r→+∞时|g(z)|≤exp{rβ+ε}。

引理3[8]：假设f(z)是超越亚纯函数，设P={(k1,j1),…,(km,jm)}表示一个整数对的有限集合，满足ki>ji≥0，(i=1,2,…,m),α>1是一个给定常数，那么存在子集E3⊂(1,+∞)有有穷对数测度，存在仅依赖α和P的常数K>0，满足对所有满足|z|=r∉[0,1]∪E3的z和(k,j)∈P，得到

3 主要结果

1996年Kwon Ki-Ho在文献[5]中研究了二阶线性整函数系数微分方程

f″+A(z)f′+B(z)f=0

的解的超级问题。

本文在文献[5]的启发下主要研究了引理A中无穷级解的超级，进一步深化了对方程(3)解的讨论，得到以下结果。

定理：设A、B、F≢0为有限级亚纯函数，A、B为超越的，且满足条件

max{σ(F),σ(A)}<σ(B)<∞

(4)

和

(5)

定理的证明：取α,β>0，使得σ(A)<α<β<σ(B)<+∞，先将方程式(3)改写为

(6)

由引理1可知，存在线测度和对数测度均有穷的集合E1⊂(1,+∞)，使|z|=r∉[0,1]∪E1,r→+∞时，

|A(z)|≤exp{rα}

(7)

由定理的条件(5)可知

|B(z)|≥exp{(1+o(1))rσ(B)-ε}

(8)

设f为方程(3)的无穷级解，则f为超越亚纯函数，由引理3可知，存在一个子集E3⊂(1,+∞)具有有穷对数测度及常数K>0，对满足|z|=r∉[0,1]∪E3的所有z有

(9)

若f在z0有k(≥1)阶极点，而A(z),B(z)都在z0点解析，则f″+Af′+Bf在z0有k+2阶极点，但F在z0解析，矛盾，所以f的极点只能发生在A(z),B(z),F(z)的极点处，因……