张 颖,胡俊云,吴 艳

(1.浙江师范大学数理与信息工程学院,浙江金华321004; 2.嘉兴学院数学研究所,浙江嘉兴314001)

Zygmund型空间上的广义复合算子

张 颖1,胡俊云2,吴 艳2

(1.浙江师范大学数理与信息工程学院,浙江金华321004; 2.嘉兴学院数学研究所,浙江嘉兴314001)

讨论了单位圆盘D上Zygmund型空间(小Zygmund型空间)之间的广义复合算子的有界性和紧性,找到了算子:Zα→Zβ为有界和紧性的几个充要条件.把结论进一步推广,得到复合算子Cφ:Zα→Zβ为有界和紧性的几个充要条件.

Zygmund型空间;广义复合算子;有界性;紧性

0 引言

定义1 D上的Zygmund空间是指满足下面条件的函数全体:

由文献[1]中的定理5.3和闭图像定理可知,f∈Z的充要条件是(1-z2)f″(z)＜∞.在范数‖f‖z＝f(0)+f′(0)(1-z2)f″(z)下,Zygmund空间是一个Banach空间.

定义4 小Zygmund型空间是满足f∈Zα且(1-z2)αf″(z)＝0的函数全体,记为.显然,是Zα的闭子空间.

李颂孝和stevic′在文献[2]中对复合算子进行了推广,定义了广义复合算子:

本文中C表示与变量无关的正常数,不同的地方表示不一样的常数.

1 若干引理

引理1[3]若f(z)∈Zα,则:

引理2 设0＜α,β＜∞,φ是单位圆盘D上的解析自映射,则Cgφ:Zα→Zβ是紧算子当且仅当下列两个条件成立:

(ⅱ)对任意有界序列{fn}⊂Zα,若fn(z)在单位圆盘的任意紧子集上一致收敛0,则‖fn‖Zβ→0(n→∞).

证明 本引理类似于文献[4]命题3.11的证明.

引理3[5]设0≤α＜1,f{}

n是Zα的任意有界列且在单位圆盘D上内闭一致收敛于0,则

2 主要结果

定理1 设0＜α,β＜∞,g∈H(D)以及φ是单位圆盘D上的解析自映射,则以下条件等价:

证明 (ⅰ)⇒(ⅱ)显然.

(ⅱ)⇒(ⅲ) 根据引理1,分3种情形讨论.

对任意的w∈D,设

因为

所以,得

对任意的w∈D,设

则类似于上述fφ(w)的讨论,易得

同理,易得

则有

结合式(2),易得:

情形3 易证.

(ⅲ)⇒(ⅰ)只……