曾闽丽

(莆田学院数学学院,福建 莆田 351100)

一类涡流控制问题的新的预处理子*

曾闽丽

(莆田学院数学学院,福建 莆田 351100)

构造了一类多调和涡流最优化控制问题(MECOC)的新的预处理子.结合新的预处理子对系数矩阵进行预处理后使用Krylov子空间方法,如GMRES方法求解,并分析了预处理矩阵的特征值分布情况.数值实验验证了理论结果的正确性，并说明了新的预处理子的有效性.

涡流;最优化控制;特征值分布;GMRES方法;预处理子

控制约束最优化问题在物理学、生物学和化学等领域都有广泛的应用.一般情况下，控制约束最优化问题可以通过有限元方法将一个PDE方程的求解最后转化为大型稀疏矩阵鞍点问题的线性方程组的求解.近年来，越来越多的学者针对这些优化问题得到的线性方程组的求解方法进行了研究，在数值计算方法上取得了很大的成就.白中治研究院等提出Hermitian与反Hermitian分裂(简称HSS)迭代法[1-4],HSS方法的优点在于当系数矩阵为非Hermitian情形,将其分裂为Hermitian部分和反Hermitian部分的和,然后建立一种交错方向的迭代法,该方法在系数矩阵和参数满足一定条件时是收敛的.而多调和涡流最优化控制问题[5-9]得到的系数矩阵为对称不定的,对于这类问题一般采取Krylov子空间方法来求解.然而即使是相对很有效的Krylov子空间方法,在没有进行任何预处理时,也会遇到许多的困难,比如系数矩阵病态的时候,特征值分布就非常广泛,那么使用Krylov子空间方法求解时,可能会收敛特别慢,也可能不收敛.对于矩阵的预处理方法,以Benzi等学者提出许多有效的预处理子,如对角块预处理、上三角预处理、下三角预处理等等.对于MECOC问题的有效预处理可参考文献[5-9],其中文献[6]提到的一种块对角预处理也是非常有效的,笔者在实验中将其与新的预处理子进行比较.

在下文中,AT代表矩阵A的转置.所取参数均为实数,讨论的矩阵均为实矩阵.

1 新的预处理子及主要结论

考虑线性方程组Az=b,其中θ=kωσ≡常数[6-9],且

(1)

其中：参数λ,θ为大于0的实数；矩阵M∈Rn×n为对称正定矩阵；Kυ∈Rn×n为对称半正定矩阵；右端向量b∈Rn.易知矩阵A∈R4n×4n是对称不定的.将矩阵A分裂为

(2)

其中I为与M同阶的单位矩阵,且

容易求得

(3)

记G=M-1Kν,则(3)式等价于

(4)

即

(5)

由(5)式知

若Kν=νK,且满足ν<<1为正数,K为刚度矩阵,则此时c→0+,从而γ→1.最理想的情形,记为ν=0,此时γ=1.证毕.

2 数值实验

实验环境为Matlab(2009b),Windows XP(AMD Phenom(tm)II X4 830 Processor),2.79 GHz,3.00 GB内存.实验中用到的终止误差为10-6.

例1 参考文献[7]的优化问题，考虑以下状态方程：

其中Ω=[0,1]2，∂ΩD=φ，且

对该问题进行先优化再离散(Q1-P0有限元进行离散),详情见参考文献[7].可由IFISS软件[10]得到相应的质量矩阵M和刚度矩阵K，令Kν=νK,从而得到方程组Az=b，其中系数矩阵A具有(1)式对应的4×4的分块矩阵的形式.

选择不同的参数θ,λ和ν来测试预处理子Pd的有效性，并与没有进行预处理的GMRES迭代方法[11]进行比较.

图1，2分别列出了不同参数的选择得到的新的预处理子对系数矩阵进行预处理之后的特征值的分布情况,与预处理前进行比较,可以看到预处理后矩阵的特征值都聚集在1附近,特征值越集中表明预处理后矩阵的条件数越接近1.表1，2针对3种预处理以及没有进行预处理求解方程组的进行比较(在表1和表2中,括号里面的对应迭代次数和误差,括号上方的数字为CPU运行时间),给出了在相同中止误差的情况下,各种预处理所需要的时间和所需要的迭代次数比较.显然,根据前面的理论分析,当ν<<1时新的预处理在矩阵阶数较低情形比文献[9]所介绍的预处理子要有效得多,并且在时间上也显示出很大的优势.并且从图1，2中也可以看出,预处理后的矩阵特征值相对集中.

图1 特征值分布比较，λ=10-8,ν=10-3,θ=104(矩阵阶数：900)

图2 特征值分布比较，λ=10-6,ν=10-4,θ=104(矩阵阶数：900)

表1 重算值=10和最大迭代是1 001的预处理的GMRES算法(ν=1)

表2 重算值=20和最大迭代是800的预处理GMRES算法(ν=1)

4 结语

新的预处理子的优点在于求解具有这类特殊结构系数矩阵的方程时展示了巨大的潜力，因其结构的特殊性,这种预处理子的逆容易求得,可以在这种或类似的结构中推广这个思想，这个方法的关键点在于这个矩阵的特殊结构.如果传导性系数σ不是常数，那么对应的预处理子也会变得更复杂.

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(责任编辑 向阳洁)

NewPreconditionerforaClassofEddyCurrentControlProblems

ZENG Minli

(Mathematics Department,Putian University,Putian 351100,Fujian China)

A new preconditioner for a class of multi-harmonic eddy current optimal control (MECOC) problems was constructed.The new preconditioner for the coefficient matrix in the Krylov subspace method such as GMRES was used to analyze the distribution of the eigenvalues.Numerical experiments were used to verify the correctness of the theoretical results,and showed the efficiency of the new preconditioner corresponding to the new method.

multi-harmonic eddy current;optimal control problem;distribution of eigenvalues;GMRES method;preconditioner

1007-2985(2014)02-0018-05

2013-06-07

福建省教育厅A类科技项目(JA12287)

曾闽丽(1982-),女，福建宁化人，莆田学院数学学院讲师,在读博士,主要从事数值代数研究.

O241.6

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.02.006