关珺珺，李 波，邓 科，赵鹤平

(吉首大学物理与机电工程学院，湖南 吉首 416000)

二维声子晶体负折射成像效应及其分辨率对比*

关珺珺，李 波，邓 科，赵鹤平

(吉首大学物理与机电工程学院，湖南 吉首 416000)

采用有限元分析方法，研究了声子晶体负折射现象与板厚度的关系.通过对比分析声子晶体单板成像系统和串联式声子晶体多板成像系统,结果发现多板系统的像点强度较强，但分辨率却高于单板系统.利用串联式声子晶体多板成像系统可以提高成像质量.

声子晶体；负折射率；成像；分辨率

声子晶体具有声波操控功能而受到人们的广泛关注.众所周知，声子晶体(Sonic Crystal)是由弹性材料周期性地排列形成[1-5]，具有与传统声学材料反常的性质.目前无论是对声子晶体能带的研究，还是对声子晶体色散特性及其应用的探索都取得了很多的成就.近年来，人们对声子晶体在声学器件中的应用进行了深入地研究.例如，利用声子晶体自准直效应设计了可以使声波弯曲传输的器件[6]，利用声子晶体的负折射性质设计出声学平板棱镜装置[7-8]，利用二维声子晶体共振结构设计了定向声源装置[9].然而，在利用声子晶体的负折射性质设计声学平板棱镜装置过程中依然有一些工作要做，例如采用较厚的声子晶体平板进行远场成像时，会产生像点模糊的现象.

在某些频率下，入射波的波矢和声波的群速度方向相反，这时声波在声子晶体中传输呈现负折射现象[10].因此，在这些频率下，声子晶体被认为是一种负折射材料，也就是人们常说的左手材料[11].声子晶体的这种负折射效应在六方排列的平板成像系统和四方排列的成像系统中都得到了验证，并且成像系统具有良好的聚光效果.Veselago的研究表明，一块由左手材料制作的平板成像系统，当它的厚度为D，折射率n=-1时，点源P距离平板的距离为L(L

笔者设计了一个由固定宽度的声子晶体薄板串联构成的成像系统.该系统将一个有限宽度的厚板等分成若干薄板，然后这些薄板串联排列构成成像系统.通过与等宽度等厚度的声子晶体厚板成像系统对比，发现该系统的像点强度有所下降，但是辨识度(即分辨率)却比等宽度等厚度的声子晶体板优良.

1 成像效应及其分辨率

用于成像的二维声子晶体由橡胶的钨柱四方地嵌于水中组成，包层的外径为0.429a，内径为0.398a，其中a为晶格常数.因此，这种晶体的填充率为0.58.钨的材料参数ρ=19.3×103kg/m3，CL=5.09×103m/s，CT=2.8×103m/s；橡胶的材料参数ρ=1.3×103kg/m3，CL=0.2×103m/s，CT=0.04×103m/s；空气的材料参数ρ=1.0×103kg/m3，CL=1.49×103m/s.其中，ρ，CL和CT分别代表相应材料密度、纵波速度和横波速度.

文中的计算方法为有限元分析方法.图1给出了该晶体的能带结构，其中，纵坐标是归一化后的频率，归一化单位为2πc/a.声子晶体在频率0.136 9附近波失和群速度的方向相反，具有负折射现象[8].图2描述了声子晶体在归一化频率0.136 9附近的M点位置的等频色散线，由图1和2可以看出，随着频率的增加，声子晶体的色散线越来越接近M点，等频色散线的形状也逐渐地接近一个圆形，这时声子晶体的有效折射率可以通过Snell’s law来定义，并且声子晶体的有效折射率可以由n=-c|k|/ω计算[8].通过计算可知，当频率等于0.136 9时，该晶体的有效折射率约为-1.成像系统是在这个频率下进行工作.笔者将成像系统的横向距离(声子晶体平板的法线方向)称为成像系统的厚度，将成像系统的纵向距离(垂直于声子晶体平板法线方向)称为成像系统的宽度，其中像点离晶体板的距离L=0.15D.

图1 声子晶体的能带结构

图2 M点位置的等频色散线

图3 声子晶体厚度为45层、宽度不同的声场分布

为了得到一个远场像点，将声子晶体的厚度取为45层(厚度D=31.8a).点源与平板的距离L=0.15D，点源的横坐标位置x=0，因为声子晶体的有效折射率约为-1，所以像点的位置必定出现在平板后，离平板的距离L′=0.85D，横坐标位置在x=63.6a附近.通过Snell’s law，可以计算出点源的像点为倒立的像.图3分别为3块相同厚度45层、宽度分别为45，63，103层的成像系统的成像声场分布，由图3可以很容易地辨别出103层的像点.这就说明了，如果想要利用这种声子晶体进行远场成像，就必须尽可能地增加成像系统的宽度.然而，为了得到远场相对清晰的像点，就不得不将平板的宽度制作成平板厚度的几倍或者十几倍，以便提高成像系统的分辨率.

图4 声子晶体平板串联成像系统及声场分布

以上方法虽然可以提高成像系统的分辨率，但是由于成像系统体积的庞大，因此不便于应用.笔者以3块板串联为例设计了一个多块声子晶体薄板串联组成的成像系统，由于平板的宽度有限，点源只有一部分能量通过成像系统形成像点，所以像点能量远比物点能量低.每通过一块成像平板，像点的能量就会下降，随着平板数量的增多，串联式薄板成像系统的像点的能量就会越低，但是因为薄板的成像系统像点分辨率要比厚板成像系统要高很多，所以串联式薄板成像系统的分辨率要比厚板成像系统保持得更优良.图4给出了厚度为15层宽度为45层的3块声子晶体平板串联组成的成像系统及其声场分布.同样，将点源放在距离平板L=0.15D处，点源的x坐标位置为x=0.结果表明，该系统像点的分辨率比图3中的3个成像系统的像点高.

为了能够更加具体地区分像点的分辨率，在成像系统厚度的法线方向上将像点的振幅表示出来，如图5所示.图5给出了图3中3个厚板成像系统像点附近的声压分布.从图5可以看到，成像系统的宽度增加到103层时，像点的位置最容易分辨出来，接近理论计算出来的像点的位置.图6给出了2种成像系统像点附近的声压分布，一种是一块厚度为45层、宽度分别为45层和103层组成的成像系统，像点在横坐标40a～75a之间；另一种为3块厚度均为15层、宽度为45层的声子晶体平板串联组成的成像系统，像点在横坐标60a～90a之间(因平板的串联，这里横向坐标为58.5a的地方是成像系统的边界，故坐标从60a开始).由图6可知，串联成像系统的像点强度减低了，但是像点的位置最接近理论计算出来的像点位置，分辨率最优良.

图5 声子晶体厚板成像系统的像点声压分布

图6 声子晶体厚板和串联式薄板成像系统的像点声压分布

2 结语

采用有限元分析数值模拟的方法，针对声子晶体平板成像系统的像点分辨率进行了分析.虽然增加声子晶体板的厚度可以实现点声源的远程成像，但是随着声子晶体厚度的增加，点源的分辨率逐渐地减弱.通过对比分析串联式声子晶体薄板成像系统与声子晶体厚板成像系统，发现串联式声子晶体薄板成像系统的像点强度虽弱,但分辨率却高于声子晶体厚板成像系统.实验结果表明，串联式声子晶体薄板成像系统成像质量优于传统厚板成像系统.

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(责任编辑 陈炳权)

ComparisonAamongtheNegativeRefractionImagingEffectsandImagingResolutionBasedontheTwo-DimensionalSonicCrystals

GUAN Junjun,LI Bo,DENG Ke,ZHAO Heping

(College of Physics and Mechanical & Electrical Engineering,Jishou University,Jishou 416000,Hunan China)

FEM(Finite Elemeat Method) is used to study the relationship between the negative refraction of sonic crystal plate and the plate thickness.It is thus concluded that imaging quality can be improved by cascaded stack of SC sheets.

sonic crystals;negative refractive index;imaging;resolution

1007-2985(2014)02-0048-04

2013-12-27

国家自然科学基金资助项目(11104113，11264011，11304119)；湖南省自然科学基金资助项目(09JJ6011，11JJ6007，13JJ6059)；湖南省教育厅科学研究项目(13B091，13A077，13C750)；湖南省吉首大学研究生校级课题资助项目(JDY12047，JGY201314)

关珺珺(1991-)，男，河南新蔡人，吉首大学物理与机电工程学院硕士生，主要从事人工微结构物理研究

邓 科(1978-)，男，湖南湘潭人，吉首大学物理与机电工程学院副教授，博士，硕士生导师，主要从事凝聚态物理研究；赵鹤平(1966-)，男，湖南桑植人，吉首大学物理与机电工程学院教授，博士，硕士生导师，主要从事凝聚态物理研究.

O481

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.02.011